1. Suppose the joint p.d.f of (X, Y) is f (x, y) = 4x if 0 < y < x2 , 0 < x < 1 and

0 elsewhere.

[3] (a) Find P (X ≤ 0.5, Y ≤ 0.5).

[6] (b) Find the marginal p.d.f of X and Y , respectively.

[3] (c) Find E(Y).

[5]  (d) Find the conditional pdf of X  given by Y  = y, which is denoted by f1 (x|y).

2. Suppose X ~ Binomial(1, 0.4) and Y ~ Binomial(2, 0.4), respectively. Addi- tionally, we assume P (X = 1, Y = 2) = 0 and X and Y are uncorrelated.

[5] (a) Find the joint probability function of X and Y .  (You may write it as a table.)

[3] (b) Find P (X ≤ Y).

[2] (c) Is X independent of Y? Justify your reasoning.

3.   Suppose that Y  =      Xi , where Xi ’s are i.i.d Gamma(α, β) and N  ~ Poisson(µ). We further assume that N is independent of Xi ’s.

[5] (a) Find E(Y).

[5] (b) Find the moment generation of Y .

[5] (c) Find the correlation coefficient of N and Y .

4.  Suppose that X ~ Gamma(α1 , β) and Y ~ Gamma(α2 , β).  In addition, X and Y are independent of each other.

[3] (a) Find E[(X 一 Y)2].

[5] (b) Find the distribution of X + Y .

[5] (c) Find E[X/(X + Y)].