Problem 1

1. Prove that there are no solutions in integers x and y to the equation 2x2 + 5y2  = 14. (5pts)

2. Prove or disprove that you can use dominos to tile a 5 × 5 checkerboard with three corners removed. (5pts)

Problem 2

Find the truth set of each of the following predicates where the domain is the set of integers.

• P(x) : x3  ≥ 1 (2pts)

• Q(x) : x2  = 2 (2pts)

• R(x) : x < x2  (2pts)

• T(x) : x2 − 2x + 1 ≥ 0 (2pts)

Problem 3

Show that if A,B are sets, then the symmetric difference A ⊕ B, containing the elements in either A or B but not in both A and B .

• A ⊕ B=B ⊕ A. (5pts)

• (A ⊕ B) ⊕ B = A. (5pts)

Problem 4

Give an example of a function from N to N that is

• one-to-one but not onto; (3pts)

• onto but not one-to-one; (3pts)

• both onto and one-to-one (but different from the identity function) (3pts)

• neither one-to-one nor onto. (3pts)