Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Summer 2022 Online Assessment Instructions

EC2020 Elements of econometrics

SECTION A

Answer all questions from this section.

1.  Consider the following bivariate regression model:

Yi = β + ui ,

for a given random sample of observations {(Yi,,Xi)} .   The regressor is stochastic, whose sample variance is not 0, and Xi  0 for all i. We may assume E(ui|X) = 0, where X = (X1 , ...,Xn).

(a)  (5 marks) Is the following estimator

 = P XiYi

an unbiased estimator for β?

Hint: in your answer you need to treat xi as a random variable, carefully derive E[|X] first!

(b)  (3 marks) You are advised that an unbiased estimator for β is given by

P 

 =

P .

Discuss how you can obtain this estimator.  Is this estimator BLUE? Provide suitable arguments to support your answers.

2.  Consider the following regression model:

y*i = ↵ + βxi(*) + ui .

where the error term u has mean zero and variance g u(2), and u is independently distributed of x. You are told that both y*i and xi(*) are subject to the same measurement error wi .

Instead of observing {(y*i,xi(*))}, you are given a random sample {(yi,xi)} ,where:

yi = y*i + wi ,

and

xi = xi(*) + wi .

The measurement error wi has zero mean, and is assumed to be distributed independently of ui , xi(*)  , and y*i .

(a)  (5 marks) Let  be the OLS estimator of the slope of the linear regression of yi  on xi  with an intercept.  Demonstrate that  is an asymptotically biased estimator of β . What is the sign of the bias?

(b)  (3 marks) Discuss the following statement: Measurement error in regressor x* poses a more serious problem than measurement error in the dependent variable y* . Sup- port your answer with suitable argument. No technical derivations expected.

3. A researcher considers the following regression model to determine the factors affecting rent rates in the UK, where rent be the average monthly rent paid on rental units in a UK city. Let pop denote the total city population, avginc the average city income, and pctstu the student population as a percentage of the total population:

log(rent) = β0 + β1 log(pop)+ β2 log(avginc)+ β3pctstu + u.

The equation estimated using data from 64 cities is as follows, with standard errors reported in the parenthesis.

log\(rent)

=    .043 + .066 log(pop)+ .507 log(avginc)+ .0056pctstu.

(.844)       (.039)                            (.081)                                    (.0017)

n = 64,    R2 = .458.

(a)  (4 marks) You are interested in testing the following joint hypothesis H0  : β 1 = β 2 = 0. Explain how to implement the test for H0, clearly describing any additional information you would require to perform the test.

(b)  (4 marks) You are told that the regression  model suffers from heteroskedasticity.

Clearly explain what heteroskedasticity means and briefly indicate what implication this has for your test in (a). Discuss how you may address this problem. You are not expected to provide a test here.

4.   (a)  (5 marks) Consider the following time series model for {yt}:

yt = yt-1 + et + et-1 ,

where et  is i.i.d with mean zero and variance g2 , for t = 1, ...,T. Let y0  = 0. Demon- strate that yt  is non-stationary unless  =  y1.  In your answer, clearly provide the conditions for a covariance stationary process.

Hint: Apply recursive substitution to express yt  in terms of current and lagged errors. (b)  (3 marks) Briefly discuss the problem of applying the Dickey Fuller test when testing

for a unit root when the model of a time series xt  is given by:

xt = pxt-1 + ut ,

where the error term ut exhibits autocorrelation. Clearly state what the null, alternative hypothesis, and the test statistics are for your test.

5.  Let us consider the following stationary time series model:

yt = ↵ + pyt-1 + β1t+ β2t-1 + et ,    |p| < 1,        t = 2, ...,T.

(a)  (2 marks) Clearly indicate what assumptions will ensure that the OLS estimators ( , , 1 , 2 ) are consistent.   You may assume stationarity and weak dependence needed to rely on usual law of large numbers are satisfied.  A proof of consistency is not expected.

(b)  (4 marks) Let us assume the conditions for consistency in (a) are satisfied.  Define the short and long run effect that  has on y. Discuss how you can obtain a consistent estimator of these effects using ( , , 1 , 2 ), and prove your claim.

(c)  (2 marks) Discuss the following statement: “If the  process is slowly changing over

time it is difcult to get a precise estimator of the short run effect.”

(Hint: You may for simplicity consider the model where p = 0).

SECTION B

Answer three questions from this section.

6.  Consider the following OLS estimation of a model to explain the stock prices of a FTSE100 company using 120 observations from 2012m1 to 2021m12, all variables are calculated at the end of month t:

log\(stockt)

=   .(.)1(8)2(6) + .(.)2(5)4(4) log (prott) y .(.)3(6)0(5) log (researcht) y .(.)1(3)2(4) log (marketingt)(6.1)

n = 120, R2 = 0.34,SSR = 1.29,F1(3)16 = 3.89.

where stockt  is the stock price in GBP (British Sterling).  profitt  (the profit before tax in millions of GBP), researcht  (expenditure on research and development), and marketingt (expenditure on marketing) are measured in millions GBP. Standard errors are reported in parentheses, SSR is the Sum of Squared Residuals, and the F statistic for the significance of the regression is provided.

(a)  (5 marks) What is the interpretation of the coefcient on log (prott)?  Is the sign of

the coefficient as you would expect?  Explain your answer. Would your interpretation change if the profit is now measured in thousands of GBP? Explain your answer.       Hint: a million is thousand*thousand.

(b)  (5 marks) Looking at the estimates, a colleague claims that the effect of marketing expenses is more than twice as large as the effect of research and development ex- penses on the stock price.  Describe a suitable test to examine this claim.  Clearly specify the null and the alternative hypothesis and assumptions underlying your test. Indicate additional information, if necessary, to conduct such a test.

(c)  (5 marks) Another colleague gets hold of a variable smallt which captures the monthly stock price of a small, random rm in Bulgaria from 2012m1 to 2021m12. Excited with the discovery, the colleague insists on including smallt  in the model.   Discuss the statistical reasoning behind including additional variables in the model. What are the likely effects of the inclusion of smallt  on the properties of the OLS estimators of the parameters of the model?  Explain your answers intuitively.  Hints: The Bulgarian company is completely unrelated with the FTSE company in the model.

(d)  (5 marks) Your research manager believes that the stock price action of the FTSE100 company behaves differently after 2016m6.   He claims that the coefficients of the regressors in (6.1) for the months after 2016m6 are different from the coefficients in (6.1) for the months in and before 2016m6.  Discuss how you can test whether the manager is correct.  Clearly specify the null and the alternative hypothesis.  Indicate additional information, if necessary, to conduct such a test.

7. A researcher models the relationship between the expenditure of a company, St in period t and the expected profit, ⇡t(*)+1 , in period t +1 as follows:

St = β 0 + β1 t(*)+1 + β2rt + ut ,                       (7.1)

where rt  is the borrowing interest rate set by the central bank (measured in percentage) and ut  is an i.i.d. error term with

E(ut|St-1 ,St-2 , ..., ⇡t , ⇡t-1 , ....,rt,rt-1 , ...) = 0.           The expected profit is determined by the following adaptive expectation process:

t(*)+1 y t(*) = (t y t(*)),                          (7.2)

where t  is the actual prot realised at time t.  Using quarterly data from a US company,

the researcher obtains the following estimates from using OLS:

n = 240, R2 = 0.56.

(a)  (6 marks) What is the interpretation of ✓ in (7.2)?. Using the regression results in (7.3) obtain an estimate for ✓ .

Hint: Use (7.1) and (7.2) to express St as follows:

St = ↵0 + ↵1 ⇡t + ↵2rt + ↵3St-1 + vt ,                  (7.4)

where vt = ut y (1 y )ut-1 .

(b)  (5 marks) You are concerned that the estimate for obtained in (a) is not suitable.

Demonstrate formally that the OLS estimator of (7.4) will be inconsistent. Hints: You are not expected to look at the consistency proof for the ↵ parameters explicitly.

(c)  (4 marks) Discuss how you can use an IV estimator to obtain a consistent estimator for the ↵ parameters and hence obtain a consistent estimator for ✓ .

(d)  (5 marks) Suppose a suitable univariate model for St  is given by:

St = 入1 + 入2St-1 + Vt + et ,                      (7.5)

where t is a deterministic trend and et is white noise, an i.i.d error term with zero mean and constant variance that is independent of St-1 .  Discuss how to test whether the expenditure process St  has a unit root.  Clearly indicate the null and the alternative hypothesis.

8.  Let us consider a model where we want to explain whether a married woman works for wages or not.  We may define the dependent variable paid to equal 1 when the woman works for wages, and zero otherwise, and consider the model

paid = 0 + 1 nwifeinc + 2 educ + 3 exper + 4 exper2 + u,        (8.1)

where nwifeinc is other sources of income (in $000), educ is years of education, and exper is past years of labour experience. You may assume that E (u|nwifeinc,  educ,  exper) = 0.

(a)  (2 marks) Provide an economic interpretation of the parameter ↵2 . What should be the sign of ↵2 ?

(b)  (3 marks) What would happen to the parameter estimates if the qualitative outcome was coded differently, in particular:

paid*     =   2 if married woman works for wages

=   1 if married women does not work for wages, and the following regression was estimated by OLS

paid* = 0 + 1(*)nwifeinc + 2 educ + 3(*)exper + 4(*)exper2 + u* .     (8.2)

(c)  (6 marks) Discuss why the following statements are False. Suggest suitable changes that will make the statements correct. Details supporting your claims will be rewarded.

(i) The R-squared obtained from the OLS estimation of (8.2) is larger than the R- squared obtained from the OLS estimation of (8.1).

(ii) To test whether the non-education variables (nwifeinc,exper,exper2 ) are jointly significant in (8.1), we can use the usual F-test that compares the restricted and unrestricted residual sum of squares.

(d)  (7 marks) Instead of using OLS, a researcher proposes we should use the Probit model.   Introduce the model and discuss the benefits and drawback of using this approach.  In your answer you are expected to provide the main equation underlying the Probit model and the log-likelihood function.

(e)  (2 marks) Discuss the following statement: “A probit model that uses nwifeinc, educ, exper, and exper2  to explain whether a married woman works for wages or not, will exhibit diminishing effects of additional years of education on the probability of work- ing for wages.”  In your answer clearly indicate how to obtain the partial effect under consideration.

9.  Let us consider the following system of simultaneous equations

y1 = ↵1y2 + ↵2x1 + ↵3x2 + u1                                                                    (9.1)

y2 = β 1y1 + β2x1 + β3x3 + β4x4 + u2 ,                   (9.2)

where (u1 ,u2 ) are i.i.d.   errors with zero mean, Var (u1 )  =  g 1(2), Var(u2 )  =  g 2(2), and let Cov(u1 ,u2 ) = 0. The endogenous variables are (y1 ,y2 ) and (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) are exogenous variables.

(a)  (4 marks)  Explain the simultaneity issue associated with the above simultaneous

equation model (SEM) intuitively (no derivations expected).   Give an example that fits such a structure.

(b)  (7 marks) You are told that in the above SEM there exists a perfect linear relation between x2 and x3 , in particular,

x3 = 2x2 .

Obtain the reduced form equations for y1 and y2 , recognising this exact linear relation between x2 and x3 .

(c)  (4 marks) Use the result obtained in (b) to discuss the identification of the two struc- tural equations.  Clearly state whether the equations are over identified, exact (just) identified, or under identified.  Hint: Your answer is expected to discuss what condi- tions need to be satisfied to ensure that we can use the observable data to estimate the parameters consistently.

(d)  (5 marks) Discuss how you can obtain a consistent estimator of the ↵ parameters using 2SLS. Provide details of the estimator.