Instructions

● This exam consists of 5 problems.  Each problem is worth 20 points (with all parts equally weighted for questions having multiple parts).

● Problem  1, consisting of several True/False and multiple choice questions, will be graded strictly on the basis of final answers. No partial credit will be given for justifying answers in Probem 1. However, it is absolutely essential that you provide complete justification for your answers to Problems 2,3,4, and 5.  You must fully justify your answers in order to earn full credit for Problems 2,3,4 and 5.

● You are allowed to consult our course textbook and course notes as you work on this exam. No other resources are allowed. In particular, collaboration with others is not allowed on this exam.

● Please submit your work, via Carmen, no later than Sunday, March 5 at 11:59pm.  Besides the submission deadline, there are no further time constraints for this exam.  In particular, you may begin working on this exam as soon as it is released.

Good luck!

(1)   (a) TRUE or FALSE: The group of rigid motions of a triangle is isomorphic to  S3 , the symmetric group on {1, 2, 3}.

(b) TRUE or FALSE: Let X be the set of triples of points P, Q, R in the Euclidean plane with

distance(P, Q) = 3, distance(Q, R) = 4, and distance(R, P) = 5. The group G of rigid motions of the Euclidean plane acts on X by the rule: g . (P, Q, R) := (g(P), g(Q), g(R)). The set X consists of a single orbit for the action of G.

(c) TRUE or FALSE: Let G be the group of orientation preserving rigid motions of the regular dodecahedron D . In the natural action of G on the set of faces of D, the stabilizer subgroup of every face has order 5.

(d) Multiple choice: Are there 1, 2, or 3 distinct isomorphism classes among the finite abelian groups {Z/30Z,  Z/2Z × Z/15Z,  Z/2Z × Z/3Z × Z/5Z}?

(e) TRUE or FALSE: Let G be an abelian group of order 100. G contains a unique subgroup

of order 25.

(2)   (a) Let (x, y) and (x\ , y\ ) be pairs of points on the unit circle with distance(x, y) = distance(x\ , y\ ). Prove that there is some rotation or reflection r of the plane with r(x) = x\ and r(y) = y\ .

(b) Prove that every rigid motion of the unit circle is either a rotation or a reflection.

(3) Let R be the group of real numbers under addition.

(a) Let G c R be a subgroup. Suppose that G is discrete, i.e. there is some ∈ > 0 for which

0 is the only element of G lying between - ∈ and +∈ . Prove that G is finitely generated. Hint :  If G is non-trivial, use discreteness to prove that G has an element of smallest non-zero absolute value. Use this smallest element to prove that G is infinite cyclic.

(b) Let G c R be finitely generated.   Is G necessarily discrete?   Either prove that G is

necessarily discrete or provide a fully justified counterexample.

(4) Let p be a prime number. Let G be a finite group of order pn  for some positive integer n. Let X be a finite set for which p does not divide |X|. Suppose that   .   : G × X → X is a group action. Prove that there is some x e X for which g . x = x for all g e G.

(5) Let Sn  be the symmetric group for {1, . . . , n}, i.e.  the group of permutations of {1, . . . , n}. For a permutation σ e Sn , let Fix(σ) denote the set of x e {1, . . . , n} for which σ(x) = x. Let X be the set of ordered triples (i, j, k) with i, j, k e {1, . . . , n} and all of i, j, k distinct.

(a) Prove that the number of x e X fixed by σ e Sn  equals #Fix(σ) × (#Fix(σ) - 1) ×

(#Fix(σ) - 2).

(b) Let n > 3. Prove that