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MATH 3FF3: Home assignment 3

1.  Compute the Fourier transform fˆ(k) of the hat function

f (α) = {0(1) ,尸 3α3 1(1)

Use Parseval’s equality to obtain the exact value of

本 sin4 (夕)

4        d夕 .

_本       夕

2.  Solve the advection–diffusion equation with dissipation:

0(尸)北北

by using the Fourier transform and write the solution in the convolution form.

3. Use the solution formula and find the explicit solution of the initial-value problem for the diffusion equation on the line:

北

Compute the asymptotic behavior of a(α, t) as t → +o for fixed α ∈ R.

4. Use the solution formula and find the explicit solution of the initial-value problem for the diffusion equation:

北

where x[_1,1] (α) = 1 for α ∈ [尸1, 1] and x[_1,1] (α) = 0 for 3α3 > 1.  Confirm that a(α, t) 0 for every α ∈ R and t > 0.

5. Derive the heat kernel and the solution for the Neumann problem for the diffusion equation on the half-line:

by using the method of reflection, where o(α) : [0, o) → R is a given integrable, bounded, and continuous function. What is the value of a(0, t) for t = 0 and for t > 0?