1.  Attempt all problems. Show all work.

2.  The problem weights are as given in the parentheses.

3.  The exam is open book, open notes.

4.  Laptops, calculators are allowed.

5.  No communication about the exam is allowed with anybody except the proctor.

P1.  (35)  (Model  of a  vaccination  center.)   A Covid Vaccination center

opens 8am. Male patients arrive at the center according a Poisson process with rate 20 per hour, and female patients arrive according to a Poisson process with rate 30 per hour. The two arrival streams are independent.

(a)  (5) What is distribution of the time of the first male arrival at the center? First female arrival? First arrival of any type?

(b)  (5) What is the probability that the first arrival is a male?  (Show the details.)

(c)  (5) What is the probability that the second female patient of the day arrives before the first male patient of the day?

(d)  (5) What is the expected time when the fifth patient arrives at the center?

(e)  (5) Let N (t) be the total number of arrivals during the first t hours after the center opens. Is {N (t), t > 0} a Poisson Process? Why? If so, what is its parameter?

(f)  (5) What is the probability that there are k male arrivals between 10:00am to noon? Answer in terms of k .

(g)  (5) What is the mean and variance of the total number of arrivals by noon?

P2.  (35) (Model of an amusement park.)  An amusement park opens for

business at time zero.  It is empty when it opens.  Customers arrive at its parking lot according to a Poisson process with rate λ .  They wait at the transportation center from where they are transported by trams to the admission gate.  Each tram can carry K passengers.  A tram leaves as soon as it is full, and the next empty tram arrives right away to take on new passengers.  Let X(t) be the number of customers waiting at the transportation center at time t.

(a)  (7) Show that {X(t), t > 0} a CTMC. Specify its state space and the rate matrix. Draw the rate diagram.

(b)  (7) Is the CTMC irreducible?  why or why not?  Write the balance equations and the normalizing equation for its limiting distribution.

(c)  (7) What is the long run probability that j customers are waiting for a tram?

(d)  (7) Suppose λ = 120 per hour and K = 10.  Suppose it costs 100 dollars every time a full tram leaves.  (This is called the dispatching cost.)  It costs 2 dollars per minute to keep a customer waiting for the tram.   (This is called the holding cost.)  What is the long run dispatching plus holding cost per unit hour?

(e)  (7) The management is considering an option of using larger trams that can carry 20 passenger.  The dispatching cost is 140 dollars.  Is it worth switching to a larger tram?  (Use the λ and the holding cost from the previous subproblem.)

P3.  (30) (Model of bacterial growth.)  We know from basic biology that

bacteria grow by splitting into two identical copies of themselves. They can also die by simply disintegrating due to environmental reasons. Suppose a bacteria dies after an exp(µ) of time, and splits after an exp(λ) amount of time, these two events being independent of each other. If a bacterium dies before splitting, it ceases to exists. If it splits before dying, it generates two new bacteria that are independent of each other. Let X(t) be the number of bacteria in a colony at time t.  Assume that each bacterium behaves independently of the others in the colony. The colony can support at most 10 bacteria. That is, no splitting can occur if there are 10 bacteria in the colony, only deaths can occur.  Suppose the mean lifetime of a bacterium is 1 hour, and the mean time before it splits is 20 minutes. Note that once the number of bacteria in the colony reduces to zero, it stays zero forever, and colony becomes extinct.

(a)  (6) Show that {X(t), t  > 0} is a birth and death process on S  = {0, 1, ..., 10} with birth parameters

λn  = 3n,  0 < n < 10,

and death rates

µn  = n,   1 < n < 10.

Is it irreducible? Why or why not?

(b)  (6) Suppose X(0) = 1. Compute the expected number of bacteria in the colony at time t = 1 hour.  (Hint: You may use ex6fbd program to generate the R matrix for a birth and death process with any given birth and death rates.)