Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

HOMEWORK  4

Definition.  If I and J are ideals in a ring R, then we define

I + J = { a + b | a ∈ I,b ∈ J }.

Exercise 1.  Prove that if I and J are ideals in a ring R, then I + J is an ideal which contains both I and J.

Definition.  If R is a commutative ring with identity and a ∈ R, then

(a) = { ra | r ∈ R }

denotes the principal ideal generated by a.

Exercise 2. Let 0  a,b ∈ Z and let d be the greatest common divisor of a and b. Prove that

(a) + (b) = (d).

Exercise 3.  Use the First Isomorphism Theorem to prove that

Z20 /(5)  Z5 .

Exercise 4. Let R be an integral domain and let a, b ∈ R. Prove that if ( a) = (b), then there exists a unit u ∈ R such that a = bu.