Projects for MATH319 Linear Systems: Instructions

. Deadline is 10:00 on Monday 13th March 2023.

. Submit one pdf file to the MATH319 Moodle website.

. Maximum length 8 sides of A4.

. See the module learning outcomes for relevant educational aims.

Topics. Each student should select one topic to write about.  The list P1-P24 below are recommended; students who are unsure of what to write about, or wish to select another topic, should discuss with the lecturer.  All of the topics relate to the subject matter of MATH319, although they variously emphasize linear algebra, analysis and require varying amounts of computing skill to carry out.  Some projects have particular applications, as indicated after the titles.  On the MOODLE website there are resources such as extracts from books, links to ebooks etc which give the scientific background to the problems. The sources listed are intended to help the student start, but please read them with care. The notation and terminology may be different from that of the lectures, in which case explain the notation in the report. In some cases, the outlines are the starting point for the project, and it is expected that the student will go beyond the bare outline. A report which simply follows the outline or reproduces results and examples from the given sources is unlikely to gain a high mark.

Description of problem and context in terms of linear systems. The report should be structured so as have an introduction which describes the context of the problem. The main body of the report should describe the solution to the problem under consideration, and the results achieved.   There may be conclusions, or an abstract.   There should be a bibliography, listing the sources used.  In general, the report should be self-contained, although students are encouraged to refer to the lecture notes and course materials of MATH319 and other modules such as MATH220 Linear Algebra.

Mathematical solution of the problem The aim is to use mathematical methods of Linear Systems to obtain specific results about the problem in question. The lecture notes, workshop and assessed exercises consider various methods, some of which are likely to be useful for the problem under discussion. It is also a good idea to include specific examples, which may be taken from text books, or devised by the student; please give appropriate references to any sources that you use.  Explain all the notation, justify statements and state results precisely. In several project topics, computer algebra or graphs are required.

Report presentation and conclusions. In the module, there are various descriptions of linear systems in terms of block diagrams, (A, B, C, D), differential equations, transfer functions, Nyquist plots etc.   Think:  what is the best way to present any given idea? Explain what information each diagram conveys.  You may wish to type-set calculations, using the methods of MATH240, and produce plots via computer. The final report should fit together as a cohesive unit; so fit the components together.

When presenting graphs, give enough information that the marker can reproduce the graphs; for instance, state the values of all parameters used in the plots.  Make graphs large enough to be clear.  You should take care to explain the significance of particular features of graphs and elements of formulas that you present.  Likewise, code or pseudo code for calculations can be helpful. Generally, you should give enough information about calculations so that the marker can check that the answer is correct.   The MATH240 Project Skills module included advice about presentation of scientific documents.

Submission. The report should be submitted electronically as a single pdf to the MOO- DLE portal for MATH319.  If you have several elements in the report, such as diagrams, graphs, calculations etc, then produce these in pdf format and then combine them into a single pdf by using AcroreadPro or otherwise. Including all graphs, calculations, computer codes, the bibliography and so on, the report should be less than 8 sides of A4. A report which consists mainly of detaied mathematical text can be much shorter, say 5 pages of A4.

Marking. The projects will be evaluated according to

.  Description of problem and context in terms of linear systems

. Mathematical solution of the problem

. Report presentation and conclusions.

The marker will award an overall letter grade A-F, to be interpreted according to the criteria stated in the Mathematics and Statistics Part II handbook, and provide the student with a couple of paragraphs of feedback supporting the grade allocation, within four weeks.

MATH319 Project topics with outlines

Chapter 1: Linear systems and their description: P9, P11

Chapter 2: Solving Linear Systems by Matrix Theory: P1, P4, P7, P19, P20, P24 Chapter 3: Laplace transforms: P8, P10, P18. P23

Chapter 4: Stability of MIMO in terms of transfer functions: P3, P5, P6, P14, P17, P22 Chapter 5: Feedback Control: P2, P12, P13, P15, P16, P21

Similar project titles P1-P20 were available in 2017/8, and P21-24 were added for 2018/9, 2019/20 and 2020/2. The number of students who offered projects on each topic is given beside the title, so that 7/51 means 7 projects from the class of 51 students in 2017/8;  6/48 means 6 projects from the class of 48 students in 2018/9;  6/57 means 6 projects from the class of 57 students in 2019/20.  On the MOODLE site there are links to the main readings for the project.

P1 Inverse Systems 3/51; 1/48; 3/57; 1/40

Source: J.P. Hespana, Linear Systems Theory, (Princeton and Oxford, 2009), lecture 19. A radio transmitter has an input u and an output y .   The signal y is broadcast,  and received by a listener, who wishes to recover u.

(i) Consider a SISO

= Ax + Bu

dt

y = Cx + Du.

Solve this system for u in terms of y and x, and derive a linear system for the receiver with input y, state x and output u.

(ii) The simplest MIMO system is

y = Du.

Show that one can solve for u in terms of y if and only if D is an invertible square matrix. (iii) Suppose that the transmitter is modeled by a MIMO

dx

with transfer function

T (s) = D + C(sI 一 A)- 1 B .

Solve the MIMO for u in terms of x and y . Show that the receiver is modelled by a linear

system

┐ = ┌ A 一(一)┐

with transfer function

R(s) = D × + C× (sI 一 A × )- 1 B × .

(iv) Write down R(s) in terms of A, B, C, D and prove that

I = R(s)T (s).

P2 PID Controllers 2/51; 0/48; 0/57; 2/40

Source:  R.C. Dorf and R.H. Bishop, Modern  Control Systems  (Pearson)  12th Edition, section 7.6.

For a SISO with y = KGu 一 Ky, a particularly useful controller is

c

K(s) = as + b +

where a, b, c are complex constants; we refer to these as:

(P) the proportional amplifier b ;

(I) the integrator c/s;

(D) the differentiator as.

The advantages of K are that such a K is easy to manufacture, and for a suitable choice of a, b, c, the controller K stabilizes

(i) Suppose that G(s) = 1/(αs2 + βs + γ) for some real α, β, γ . Show that

1 p(s)

=

1 + KG      q(s)

where p(s) and q(s) are cubic polynomials.

(ii) Obtain conditions on q(s) for 1/(1 + KG) to be a stable rational function.

(iii) Use Nyquist plots to show that various systems are stabilized by the PID con- troller. Watch V29 Nyquist plots in MATLAB.

(iv) Compute the transfer function of the system with differential equation

d2 y dy

dt2            dt

(v) Find PID controllers for

s

G(s) =

The characteristic equation is

q(s) = 0.

We can vary one parameter of a, b, c at a time, and the roots move along curves in the complex plane.

P3 Root locus method 0/51; 1/48; 0/57;0/40

Sources: A. Tewari, Modern Control Design John Wiley, Chapter 7;

R.C. Dorf and R.H. Bishop Modern Control Systems Pearson 12th Edition.

Let p(s) and q(s) be coprime complex polynomials, where degree of p(s) is less than or equal to the degree of q(s), and consider a transfer function G(s) = p(s)/q(s).  Then we consider a simple feedback system with design parameter κ and transfer function

G p(s)

1 + κG      q(s) + κp(s)

the characteristic equation is

q(s) + κp(s) = 0.

The root locus method involves plotting the roots of the characteristic equation as the design parameter κ varies.   More specifically, we, suppose that p(s) and q(s) have real coefficients, and wish to determine κ such that either:

(a) all the roots are real;

(b) the roots cross the imaginary axis;

(c) all the roots are in the open left half plane;

(d) breakaway κ so that the roots become complex.

(i) Determine κ such that (a), (b) and (c) hold for q(s) = s2 一 s + 1 and p(s) = s by elementary algebra.

(ii) Obtain plots of the root locus for more complicated choices of q(s) and p(s).

(iii) Let Q(s) = q(s) + κp(s).  Show that Q(s) has a double root at s0  if and only if Q(s0 ) = Q\ (s0 ) = 0. Show that p(s0 ) 0. Show also that (q/p)\ (s0 ) = 0.

(iv) Deduce that breakaway points are given by the roots s0  of (q/p)\ (s) = 0, and

q(s0 )

κ = 一

(v) Look for κ such that the roots are imaginary.

P4 Popov–Belevitch–Hautus test for controllability 0/51; 1/48; 2/57;0/40             Source:  J.P. Hespanha Linear System Theory, Princeton University Press; sections 12.3 and 14.4

Start with A2.5, W1.6 and W2.6.

Let A be a n × n complex matrix, with transpose AT , and let B be a n × 1 column matrix;

let

n

V = {     aj Aj B; aj  e C; j = 0, . . . , n 一 1 }.

j=0

Prove that the following conditions are equivalent:

(i) V = Cn × 1 ;

(ii) the kernel of BT  contains no eigenvectors of AT ;

(iii) the rank of the (n × (n + 1)) matrix [A 一 λI  B] equals n for all λ e C; (iv) the rank of Q equals n, where Q = [ A   AB    A2 B    . . .   An - 1 B ] .

(v) Make specific choices of A and B, and use Q to check the other conditions.

P5 The Nyquist Stability Criterion 6/51; 4/48; 6/57;2/40

Source: G.F. Franklin, J. D. Powell and A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems Sixth Edition, (Pearson, 2010), Section 6.3.

The basic result is the Nyquist Stability Criterion, as discussed in frames 174 and 175 of the notes. Watch V29 Nyquist plots in MATLAB.

(i) Discuss the Nyquist Criterion with relation to the Argument Principle of complex analysis.

(ii) The practical aspect project involves producing several Nyquist plots that exhibit various effects for stable and unstable systems.

(iii) Discuss examples such as

G(s) = 1

(iv) Discuss examples such as

G(s) = 1

where G(s) has a pole on the imaginary axis; you will need to modify the contours to avoid this pole. See Diagram of indented contour.

P6 The theory of Nyquist’s criterion 0/51; 0/48; 0/57;0/40

Source: I. Stewart and D.O. Tall, Complex Analysis:  the hitchhiker’s guide to the plane, (Cambridge University Press, 1983), page 231

J.C.. Doyle, B.A. Francis and A.R. Tannenbaum, Feedback Control Theory

Watch V29 Nyquist plots in MATLAB. Let T (s) = q(s)/p(s) where p(s) and q(s) are complex polynomials with degree of q(s) less than the degree of p(s), and suppose that p(s) has all its zeros in LHP. Suppose that the Nyquist contour {T (ıω) : 一& ≤ ω ≤ &} does not pass through or wind around 一1.  We aim to prove that T/(1 + T) is a strictly proper and stable rational function.

(i) Show that there exists M1  such that

|T (s)| ≤

and that there exists M2  > 0 such that

|T\ (s)| ≤

for all s e RHP .

(ii) Let Sr  be the semicircle in the right half plane Sr  : z = re.2  for 一π/2 ≤ θ ≤ π/2.

Deduce from (i) that

|s| → 0

as r → &.

(iii) See frame 176. Let γr  = Sr φ [ır, 一ır] be the contour made of joining the ends of the semicircle Sr  with part of the imaginary axis; then let Γr  = T (z) for z on γr  be the image of γr  under T.  Show that for all sufficiently large r, the contour Γr  does not pass through or wind around 一1.

(iv) Deduce that

|}| = 0

6

for all sufficiently large r .

(v) Deduce that 1+T (s) has all its zeros in LHP, and hence that T/(1+T) is a strictly proper and stable rational function.

P7 Oscillations of particles on a string Applications to Physics 0/51; 2/48; 1/57;2/40 Sources: T.W.B Kibble and F.H. Berkshire, Classical Mechanics (Fourth Edition) (Long- man, 1996) sections 11.5, 11.6.

G.R. Fowles, Analytical Mechanics (Third Edition) Holt-Saunders, section 10.7 See solution to A3.4.

A collection of N particles is placed in a straight line, and all particles are connected to their nearest neighbours by elastic bands, so that the first and last particles are connected by elastic bands to rigid supports at either end.  The displacement of the particle j from rest is given by xj , where the xj   satisfy the systems of differential equations x0   =  0,

xN +1  = 0 and

d2xk dt2

= xk+1 + xk - 1 一 2xk           (k = 1, . . . , N).

(i) Introduce a (N × N) matrix A to describe this as = AX, where X is the (N × 1) column vector

┌ x(x)2(1) ┐

X =  '(')      '(')

(ii) Let p e {1, . . . , N } and consider

kpπ

Show that this gives a solution of the differential equation when

πp

(iii) Deduce the values of the eigenvalues of A.

(iv) Take N = 8, and introduce a (8 × 8) matrix A to describe this as = AX, and find numerically the eigenvectors and eigenvalues of A.

(v) Compare the numerical eigenvalues of A from (iv) with

一4 sin2

(p = 1, . . . , 9).

P8 Bessel Filters 0/51; 0/48; 1/57;1/40

Source:  A. Ambardar Analog and Digital Signal Processing, PWS Foundations in Engi- neering Series, (ITP, 1995) Section 10.8.1

G. Blower, Linear Systems, (Springer Mathematical Engineering, 2022)

The Bessel polynomials are defined by the recurrence relation:

Q0 (s) = 1,

Q1 (s) = s + 1;

Qn (s) = (2n 一 1)Qn- 1 (s) + s2 Qn-2 (s),

(n = 2, 3, . . .).

The corresponding Bessel controller is

Qn (0)

Hn (s) =

(i) Write a recurrence formula in MATLAB or R to generate the Bessel polynomials, and compute several of them.

(ii) Obtain the polar decomposition for s = iω of the Bessel controller Hn , as in

Hn (iω) = Γn (ω)ei。杜 (公)

and plot the gain Γn (ω) and phase φn (ω) for the first few n.

(iii) Define the spherical Bessel functions jn  and yn  by

sin x cos x

and the formula

jn (x) = (一x)n ╱ 、nj0 (x)  yn (x) = 一(一x)n ╱ 、ny0 (x)

Compute the first few of these.

(n = 1, 2, . . .),

(n = 1, 2, . . .).

(iv) Show that

Qn ╱ 、= ωi公ein ╱ 一 yn (ω) 一 ijn (ω)、

for the first couple of n.

P9 Fraunhofer diffraction of light 1/51;  1/48;  1/57;0/40 Applications  to Physical Optics.

Source:  H.J. Pain, The Physics of Vibrations and Waves, Fourth Edition, (Wiley, 1993) page 327

We consider N equal monochromatic sources of light arranged in a straight line and with each source separated from its neighbour by distance f .  Let λ be the wavelength of the

light.  When we view the array from a distance much greater than Nf , and at a small angle θ to the line perpendicular to the array, the observed intensity I is

sin2 (Nβ(θ))

where β(θ) = (πf/λ) sin θ and I0  is a constant.

(i) Show that

sin β 2

1 ≥             ≥

β         π

for 0 < β < π/2, and discuss the largest value that I can take.

(ii) Find β such that (a) the numerator of I is zero, (b) the denominator of I is zero, and (c) describe I as β approaches case (b).

(iii) Plot I for varying θ and a few small values of N .  Note that MATLAB has an

inbuilt sinc function

sin πx

πx   .

(iv) Plot the graphs of

sin2 β

β 2

and

sin2 β sin2 (Nβ)

β 2       sin2 (β)

for a few small N .

(v) Discuss the number of maxima and minima that appear in your graphs in (iv), and give some mathematical justification.

P10 Initial value theorem for Laplace transforms 0/51; 0/48; 1/57;0/40

Source: I.N. Sneddon, The Use of Integral Transforms (McGraw-Hill, 1972), pages 185-7 Let f be continuous on [0, &) and suppose that f satisfies (E). Then the Laplace transform fˆ satisfies

f (0) =  lim  sfˆ(s).

s → o

(i) Show that

sfˆ(s) 一 f (0) = |0 o ╱f (x/s) 一 f (0) ←e-z dx.

(ii) Given ε > 0, and M, α > 0 such that

|f (t)| ≤ Me↓t           (t ≥ 0),

consider s > 2α and R > 0. Show that

│|Ro ╱f (x/s) 一 f (0) ←e-北 dx │ ≤ 4Me-R/2           (s > 2α).

(iii) Now choose and fix R so large that 4Me-R/2  < ε . Show that there exists s0 such

that

│|0 R ╱f (x/s) 一 f (0) ←e-北 dx │ ≤ ε

for all s > s0 .

(iv) Deduce that for all s > max{s0 , 2α},

|sfˆ(s) 一 f (0)| ≤ │|0 o ╱f (x/s) 一 f (0) ←e-北 dx │ ≤ 2ε .

(v) Discuss examples of this result, for instance with f rational or

n

f (x) =      (aj cos(bj x) + cj sin(dj x)).

j=1

(vi) Discuss the validity of the formula

lim  pfˆ(p) = f (&).

p →0+

P11 Invertibility of matrices with stable rational entries 1/51; 1/48; 1/57; 0/40   Source: J.C. Doyle, B.A. Francis and A.R. Tannenbaum, Feedback Control Theory, Chap- ter 3.

See solution to A4.3.

Let C[s] be the space of complex polynomials and C(s) the space of complex rational functions. Let A(s) e Mn (C[s]) be a n × n matrix with entries that are polynomials in s.

(i) Show that A(s) has an inverse in Mn (C(s)), if only if det A(s) 0.

(ii) Show that A(s) has an inverse in Mn (C[s]), if and only if det A(s) is a non zero constant polynomial.

(iii) Show that f e s has an inverse in s, if and only if f = g/h where g and h are non-zero stable polynomials that have equal degree.

(iv) Let A e Mn (s). Show that A has an inverse in Mn (s), if and only if det A = g/h where g and h are non-zero stable polynomials that have equal degree.

(v) Discuss examples of this result.

P12 Stabilizing by rational controllers 1/51; 2/48; 2/57;0/40

Source: J.C. Doyle, B.A. Francis and A.R. Tannenbaum, Feedback Control Theory, Chap- ter 5.

See solution to A4.3. Consider a SISO with plant described by a rational transfer function G. We wish to find a rational controller K such that

1

G

K

KG

1 + KG ,     1 + KG ,     1 + KG ,     1 + KG

are all stable, so the system is internally stable.

(i) Consider

G(s) = 1

Express G = N/M as a quotient of coprime stable rational functions .

(ii) Hence find a controller K such that the system is internally stable.

(iii) By considering XM + YN = 1 and

Y + MQ

K =

X 一 NQ ,

describe all of the controllers that internally stablize the system.

(iv) In particular, find one such K with K(&) = 0.

P13 Circles of constant gain 0/51; 0/48; 0/57;1/40

This is the sample project that is available on the MATH319 website.

P14 May–Wigner Law 0/51; 0/48; 0/57;0/40 Applications to Biology

Source: J.P. Hespana, Linear Systems Theory, (Princeton and Oxford, 2009), page 78.

(i) Consider the continuous time system

dX

= AX

dt

where A is a n × n real matrix.   Suppose that there exist µ  > 0 and positive definite matrices P and Q such that

AT P + PA + 2µP = 一Q.

(i) Show that all the eigenvalues of µI + A have negative real parts.

(ii) Deduce that all the eigenvalues of A have real parts less than 一µ . Hespana calls this µ the stability margin.

(iii) Let J be a (n × n) matrix and suppose that the eigenvalues of J lie inside the circle with centre 0 and radius σ ^n, where σ > 0 is constant. Let ν be real and consider

the linear system

dX

= 一 νX + JX.

dt

Show that the system is stable if σ ^n < ν .

(iv) Discuss the implications of (iii) for various examples of J.

P15 Wind turbine speed control 11/51; 11/48; 17/57;14/40

Source: R.C. Dorf and R.H. Bishop Modern Control Systems, Twelfth Edition, (Pearson, 2011), Example 7.13.

A wind turbine consists of an electrical generator, a rotor with blades whose pitch can be adjusted to suit the wind conditions and gears to increase the speed of rotation of the turbine to suit the electrical generator. The transfer function of the turbine is

4.2(s 一 827)(s2 一 5.4s + 194)

(s + 0.2)(s2 + 0.1s + 482)   ,

(i) Find the poles of G, and discuss stability.

(ii) Consider the simplified transfer function

T (s) =5s(一7)1(0) ;

find the poles of T, and discuss stability.

(iii) Let K(s) = b +c/s be a PI controller; find the common denominator ∆(s) of the