Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 411. SPRING 2023. HOMEWORK 2.

1. (a) Compute gcd(163, 1001) and express is as a linear combination of 163 and 1001 with integer coefficients. (b) Compute gcd(629, 2023) and ex- press is as a linear combination of 629 and 2023 with integer coefficients. If you don’t know how to do this, read about the Euclidean algorithm in 1.5.

2. Are the following statements about integers true or false?   If true, prove. If false, provide a counterexample.

(a) If r|ab then r|a or r|b. (The notation | means divides).

(b) If a|b and b|c then a|c.

(c) 314159265358979 is prime.  You can use Mathematica but not any other software. If you use Mathematica, provide a screenshot.

(d) If a|b and b|a then a = 士b.

(e) Any two consecutive Fibonacci numbers (for example, 8 and 13) are coprime.

3. Prove that a 三 b  mod n is an equivalence relation (check all axioms).

4. Compute multiplication tables of (a) z6(*); (b) z7(*); (c) z8(*) .

5. Prove that the groups z7(*)  and z6  are isomorphic by constructing an explicit isomorphism f  :  z6   → z7(*)  between them and rearranging mul- tiplication tables of these groups to show that the binary operations are isomorphic.

6. Prove that the groups z8(*) and z4 are not isomorphic.

7. Prove that every symmetric (a) 2 × 2; (b) 3 × 3 Latin square is a multi- plication table of some abelian group.

8. Find an example of a Latin square which is not a multiplication table of any group (with proof).

9. Prove that there is no group G of integers modulo n with operation multiplication modulo n such that zn(*)  c G c zn (as sets) but zn(*)  G.

10. Let (G, 。) be a group. Fix a e G and define the left multiplication by a function

La  : G → G,    x 1→ a 。x.

(a) Show that La is a bijection for every group (G, 。). (b) Let G = z 11(*) and let a  =  3.  Describe La  explicitly (in other words, compute where every element x  e z 11(*)  goes).  (c) Let G  =  D3  and let a  e G be an operation number 2 (from the lecture notes). Compute La explicitly.