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Exercise II

Economics of Finance (Econ0048)

Term 2, 2022

1. We mentioned price indeces and the issue of rebalancing” in passing in Lecture 3, let us examine this in more detail.

A price index is an average of stock prices representative of the evolution of stocks in a certain market or industry. The average” can be done in various ways. Related to this are index funds”, these are portfolios of stocks that replicate the performance of a certain index.

”Rebalancing” refers to the fact that sometimes you need to buy or sell assets frequently in order to maintain a certain desired portfolio. This occurs, in particular, if you want to maintain a portfolio that replicates the return of a certain index.

Let us consider N stocks indexed by n. An equally weighted” price index of these N stocks increases each period according to a simple (non-weighted) average growth rate of all stocks. This corresponds to an index fund that invests the same amount in each stock, therefore wn  =  for all n. As we will see below, an index fund that replicates this index needs to rebalanced each period.

price-weighted” index gives the same weight to all stock prices, the index is just the

average of all stock prices    pi   where pn  is the price of stock n and K is in principle

a constant but it is adjusted infrequently over time for technical reasons.  An index fund that replicates a price-weighted index simply holds one share of each stock and,

therefore, it corresponds to wn  =  . Currently, the Dow Jones is just about the

only well known stock price index of this type.

value-weighted” index weighs each stock by its value, the index is just the average

of all stock market values     Vi    where Vn  = Snpn  is the market value of this rm,

Sn  is the number of shares of the rm in the market and K is another constant that adjusts infrequently over time.  An index fund that replicates a value-weighted index simply holds a xed proportion of the shares of each stock in proportion to the total

market value and, therefore, it corresponds to wn  =  . Most well known stock

price indeces nowadays are of this type. In this index a rm twice as large in terms of market value receives twice the weight, which seems like a sensible weighting scheme. Also, this index can be replicated without rebalancing.

To see this consider the following example. You consider holding a portfolio of Toyota and General Motors stock as being representative of the worldwide automobile industry. Toyota stock increases from 100 to 105 in a year, while GM starts at 50 and stays at

50, Toyota has 300 shares outstanding while GM has 1000 ignore dividends for now. (all these numbers are, of course, made up for the exercise).

(a) Assume you invest equal amounts in both stocks.  Show that the return of your portfolio equals the increase in an equally weighted index of the two rms.          If you don’t change your stock holdings for each company what is now your portfolio weight in Toyota in the second year?  how should you rebalance your portfolio (ie, buy and sell stocks keeping the same total investment) at the end of the first year to restore your equally-weighted index fund?

(b) Idem for a price-weighted portfolio/index, do you need to rebalance?.

(c) Idem for a value-weighted portfolio/index, do you need to rebalance?.

(d) Explain the reasons for the differences in the increase of each index

2. Assume, as in the example discussed in Lecture 3, that some economic outcome is decided by tossing a coin twice, the outcome depends on the number of heads. Assume you can purchase AD-securites contingent on H or T before each coin is tossed.

(a) The prices of each AD-security are qH   = .4 and qT  = .6 both at t = 0 and at t = 1. How can you achieve a dynamic portfolio that pays 1 if 2H occurs and zero otherwise?

(b) Assume the price changes over time: we still have qH  = .4 and qT  = .6 at t = 0, before any coin is tossed, but we have qH  = .5 and qT  = .55 at t = 1, just before tossing the second coin.  What is the cost of a dynamic porfolio that pays one unit if there is 1 head and zero otherwise?

3.  Consider Problem 5 in Assignment I. Assume that Delta stock ends the year 2021 at 50$ and during 2021 the dividend yield is 2%. The risk-free rate stays the same during

2021.  How much does your investment in the short sale of Jan 1st 2020 yield if you close your position on Dec 31st 2021?

4. In the fall of 2013, Verizon announced an agreement to buy 45% of Verizon Wireless from Vodafone for $130 billion.  The deal was completed in February 2014.  Verizon already owned the other 55% of Verizon Wireless, which was not a publicly traded company, so the deal made Verizon the 100% owner of Verizon Wireless. When the deal was announced, the market capitalization of Verizon (the total value of all Verizon’s shares) was about $135 billion.

(a) What was the stub value of Verizon implied by these prices?

(b) Would there have been an exploitable arbitrage opportunity in a world without market frictions where you can short costlessly as much as you want?  In other words, could you make infinite amounts of money in this theoretical case?

(c)  Same question but, in practice?  If there is no exploitable arbitrage opportunity in practice, why?

5. There are two companies, A and S, whose stocks are selling at $9 and $7 respectively. Company A decided to sue company S over patent infringements. When the outcome of the lawsuit is announced, if A wins, its stock will rise to $15, and S’s stock will decrease to $5.  If A loses, its stock will be worth $6 and S’s stock will jump to $10. Suppose stocks pay no dividends between now and the announcement.

(a)  Suppose the two states of the world are represented by whether company A wins or loses the lawsuit. Calculate the prices of Arrow-Debreu securities in this economy, assuming no-arbitrage.

(b)  Suppose that in addition to the two stocks there is a riskless asset in the economy that pays $1 in both states.  Calculate the price of such an asset, assuming no- arbitrage. What is the riskless interest rate in this case?

(c) Now suppose a riskless bond (say T-bills) yields an interest rate of 5% in the next period when the dispute is solved.  Is there an arbitrage opportunity?  If the answer is yes, outline how you would trade to exploit it assuming no costs of short-selling.