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Economics of Finance (ECON0048)

Assignment II

Term 2, 2022

This assignment is to be handed in. It will be discussed in the tutorial sessions of academic week 26. Answers will be posted after the tutorial sessions.

Questions 1 to 4 are based on Lectures 1 to 4 of the course. Questions 5 to 7 are based on Lecture 5, so wait until the end of week 5 to work on them.

1. Arithmetic and geometric means:

(a)  Suppose you observe an asset’s return in two periods.  In one period the return is -30%, and in the next period it is 40%.  What is the arithmetic mean return? What is the geometric mean return? Why are they so different in this case?

(b) If the stock market has a geometric mean return (without correcting for inflation) of 9%, and a standard deviation of 20%, what do you expect the arithmetic mean return to be approximately?

(c) Would you expect returns to be half the time above the arithmetic mean and half of the time below? How about the geometric mean?

2.  Suppose an investor has log utility, with relative risk aversion equal to one and a wealth of 100.

(a)  Calculate the insurance premium π that this investor would pay to avoid a gam- ble that with probability 1/2 adds 20% to her wealth, and with probability 1/2 subtracts 20% from her wealth.  Use the approximate formula in equation (7) of Lecture 4 and derive an exact formula as well.

(b) Assume now that the investor loses a fraction εz, find a formula for the insurance premium π(ε) that the investor is willing to pay for each ε .

(c) Draw in a graph  as a function of ε and its Taylor approximation around ε = 0 and around ε = 1.

3.  Suppose that your wealth is 500,000.  You buy a 300,000 house and invest the remain- der in a risk-free asset paying an annual interest rate of 0%.  There is a probability of 0.001 that your house will burn to the ground and its value will be reduced to zero. The real estate market is (uncharacteristically) stable, so if your house does not burn down, its value will still be 300,000 at the end of the year.

a) Consider a re insurance policy that pays you 300,000 at the end of the year if your house burns down.  If you have log utility of end-of-year wealth, what is the most that you would be willing to pay for this insurance policy at the beginning of the year? (Remember to use natural logarithms in this and all other contexts where the word “log” is used in this course.)

b) Suppose other homeowners have a similar willingness to pay as you.    Does your answer in part a) tell you what insurance companies will charge for re insurance? Why or why not?

4.  Consider the setup of question 5a) in Exercise I, hence only the two stocks are available, that is the riskless bond does not exist.  Suppose also that investors optimizing their expected utility over wealth E [U (W)] have the same wealth in each state. Given this information, can you calculate investors’ assessment for the probability that A will win the lawsuit?

5.  Over the period 1926-2015, the average annual return on the S&P 500 stock index was 11.7%, the average annual return on 1-month Treasury bills was 3.47%, and the annual standard deviation of the return on the S&P 500 index was 20.59%.  (Numbers taken from BKM Table 6.7.)

BKM Table 1.1 estimate that 58.8% of household net worth is invested in risky financial assets. If risky assets overall have the same return and risk characteristics as the S&P 500 over the period 1926-2015, if these decisions represent the average US household, and based on the Taylor approximation to expected utility we did in class, what must be the relative risk aversion coefficient of the average US household?

6. An investor is deciding how to combine two assets:  a safe asset with an interest rate of 2%, and a risky portfolio that has a risk premium (an expected excess return over the safe asset) of 8%, and a standard deviation of 20%.  The risky portfolio therefore has a Sharpe ratio of 0.4.

Some questions ask for a quantitative answer, in these cases explain briefly how you derive the number you obtain.

(a)  Suppose the investor chooses a portfolio whose standard deviation is 10%.

What is the portfolio weight on the risky asset?

What is the expected return of this portfolio?

What is the Sharpe ratio of this portfolio?

If the investor has chosen optimally, what must be her relative risk aversion?      (b) Now suppose that the safe interest rate falls to 0%, while the risk premium and

standard deviation of the risky asset remain unchanged.

What portfolio weight should the investor set in order to obtain the same ex- pected return as in the optimal portfolio from part a)?, what will be the standard deviation of the portfolio?

If, instead, the investor chooses the optimal portfolio, given the risk aversion you found from part a), what should happen to the optimal portfolio weight on the risky asset and standard deviation of the optimal portfolio?

(c) Now suppose that market conditions change in a different way. The safe interest rate is again 2%, but the risk premium falls to 6% while the standard deviation of the risky asset remains unchanged. The new Sharpe ratio of the risky asset is therefore 0.3.

What portfolio weight should the investor set in order to obtain the same ex- pected return as in the optimal portfolio from part a)?, what will be the standard deviation of the portfolio?

If, instead, the investor chooses the optimal portfolio, given the risk aversion you found from part a), what should happen to the optimal portfolio weight on the risky asset and standard deviation of the optimal portfolio?

(d)  Some commentators believe that investors reach for yield”, increasing risk-taking in the current low-return market environments in order to reach a xed target return for their portfolios.  Based on your analysis above, is reaching for yield” optimal for investors?

7.  Suppose stocks offer an expected rate of return of 18%, with a standard deviation of 22%.   Gold offers an expected return of 10% with a standard deviation of 30%.  The correlation of stock and gold returns is -0.5.

Consider for questions a) to d) the case where only the risky assets gold and stocks are available.

(a) Find the minimum-variance combination of stocks and gold. What are the mean and variance of the return on the minimum-variance portfolio?

(b) Write a formula for σp(2)  as a function of E(Rp )   on the feasible combinations of E(Rp ) and σp(2) .   Using pencil and rulers, or Python, or some similar computer program such as Matlab, Octave, etc, draw the feasible combinations of E(Rp ) and σp  on a graph of E(Rp ) against σp . Plot in this graph the minimum-variance portfolio.  In light of the apparent inferiority of gold with respect to both mean return and volatility, would anyone hold gold?    If so, demonstrate graphically why one would do so.

(c)  Suppose an investor maximizes E(Rp ) — (1/2)RRAσp(2)  for a RRA=3.  Find the optimal portfolio if only stocks and gold are available.  Find the total value of E(Rp ) — (1/2)RRAσp(2)  and draw the indifference curve of E(Rp ) and σp(2)  at the optimum on the previous graph.

(d) Redo the graphs if the correlation of the returns is 0.5

(e) Assume for the rest of the question that, in addition to stocks and gold there is a risk-free asset available to the investor, the risk-free rate is 6% and correlation between stocks and gold is -0.5. Find the optimal portfolio if the three assets are available to a mean-variance investor with RRA=3. Represent this in the previous graph.  (To nd the optimal risky portfolio you need a formula given around the end of Lecture 5).

(f) Answer in one line:  what would change if the correlation would be positive? Answer in another line:  what would change if correlation was -0.5 but RRA would be much higher?