This assignment is to be handed. It will be discussed in the tutorial sessions of academic week 23. Answers will be posted after the tutorial sessions.

Questions are based on Lectures 1 and 2 of the course.

1. In the situation below there is an arbitrage opportunity.  Explain the source of the arbitrage opportunity and how you would trade to exploit it.

2.  Say there are two periods: today (date 0) and tomorrow (date 1). Using the notation introduced in Lecture 1 there are s = 1, ..., S possible states of the world at date 1. There are N traded assets, denoted by n = 1, ..., N. Let Xns  denote the payoff of asset n in state s.  An Arrow-Debreu security for state s pays off f1 in that state, and f0 in every other state. The price of an Arrow-Debreu security is denoted by qs .

As we mentioned in Lecture 1 if there are as many assets as there are states of the world then financial markets are (effectively) complete. For this one needs that assets available are sufficiently different, since in this case one can always find a portfolio of existing securities that pays the same as any AD security.  Also it is needed that negative values of w are allowed. To find a portfolio that replicates AD-security 1 we need to solve for a vector of portfolio weights w such that

w\X =←     n(N)21 wnXn1 ,   ...      n(N)21 wnXnS  ]=←  1,   ...   0 ] .

in this case the solution is

w\  =←  1,   ...   0 ] X -1

where X -1  denotes, as usual, the inverse matrix. Obviously for this what is needed is that the matrix X is invertible

In this exercise we will find the replicating portfolios and we will use this to price new assets.

(a)  Suppose that S = 2, N = 2, and that asset 1 and asset 2 have the same payoff in state 1, i.e. X11  = X21 . State necessary and sufficient conditions in terms of the assets’ payoffs in state 2, X12  and X22 , for the market to be (effectively) complete. Briefly explain the underlying intuition.

(b) Again, suppose that S = 2, N = 2.  Asset 1 pays off f3 in state 1, and f1 in state 2. Asset 2 pays off f1 in state 1, and f5 in state 2. The price of asset 1 is f0.70, and the price of asset 2 is f0.90. Assume that there is no arbitrage.

i. Find the replicating portfolios for the two Arrow-Debreu securities.

ii. Find the prices q1  and q2  of the two Arrow-Debreu securities.

iii. Find the price of a new asset that pays off f2 in state 1, and f1 in state 2.

iv.  Consider a risk-free bond that pays with certainty 1 next period in all states. Let us call the price of that bond pf . The risk-free interest rate of this economy is defined as  − 1. Find the riskless interest rate of this economy.

3. There are two companies, A and S, whose stocks are selling at $9 and $7 respectively. Company A decided to sue company S over patent infringements. When the outcome of the lawsuit is announced, if A wins, its stock will rise to $15, and S’s stock will decrease to $5.  If A loses, its stock will be worth $6 and S’s stock will jump to $10. Suppose stocks pay no dividends between now and the announcement.

(a)  Suppose the two states of the world are represented by whether company A wins or loses the lawsuit. Calculate the prices of Arrow-Debreu securities in this economy, assuming no-arbitrage.

(b)  Suppose there is a riskless asset in the economy that pays $1 in both states. Calculate the price of such an asset, assuming no-arbitrage. What is the riskless interest rate in this case?

(c) Now suppose a riskless bond (say T-bills) yields an interest rate of 5% in the next period when the dispute is solved.  Is there an arbitrage opportunity?  If the answer is yes, outline how you would trade to exploit it assuming no costs of short-selling.

4. You spend 400,000 on Easyjet shares. The bank lends you 120,000 for this purchase.

(a) What is the margin in this case?

(b) Let’s say that the mean of the return of Easyjet stocks this year is 4% and the standard deviation is 2%.   In mathematical notation,  letting  Ri(EZ)   denote the Easyjet stock return, we have that the mean is E(Ri(EZ))=4% and the standard deviation is σ(Ri(EZ)) = 2%. The risk free rate is Rf =1%. We denote the ”excess return” of Easyjet stocks as the difference between this stock return and the risk-free asset: Ri(EZ)  − Rf .

Calculate mean and standard deviation of excess returns of Easyjet stock. Calculate the mean and standard deviation of the return for your Easyjet stock purchase on margin, when the margin is as in a).

5. In January 1st 2020 you realise airline travel will be heavily restricted so that the stock of, say, Delta airlines will go down.

(a) How can you build a short-sale to profit fom this?