FINE 4110 - Investments in Equities Homework #2

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FINE 4110 - Investments in Equities

Homework #2

Due Date:  February 13th

Problem 1:  VaRious  Considerations

You are a hedge fund manager with a portfolio of $500 million. The historical return distribution of your portfolio is assumed to be Normal with monthly expected return equal to 10% and variance 0.04. You prepare some risk measures to present to your clients.

1. Estimate VaR10% , VaR25% , VaR50%  and VaR75%  in dollars.*

VaR10%  : X = µ − 1.28 · σ ⇒ X = −0.156, so VaR10%  : 500(1 − 0.156) = 422mil .

VaR25%  : X = µ − 0.68 · σ ⇒ X = −0.036, so VaR10%  : 500(1 − 0.036) = 482mil .

VaR50%  : X = µ − 0 · σ ⇒ X = 0.1, so VaR10%  : 500(1 + 0.1) = 550mil .

VaR75%  : X = µ + 0.68 · σ ⇒ X = 0.236, so VaR10%  : 500(1 + 0.236) = 618mil .

2.  Compare the VaR results you got in (1). Which is largest, which is smallest and why?

The greater the threshold, the greater the VaR, because by increasing the threshold the

measure takes into consideration better scenarios.

Problem 2:  Old Colleagues

Nikos is a senior manager in a large mutual fund, where he is working with two of his former students; Ali and Dustin.  They are responsible for the regional portfolios of the fund in Greece (Ali) and Italy (Dustin), currently valued at $500 million each. The Greek portfolio is expected to make 8% next year with σ = 0.3, while the Italian portfolio has expected return 4%. The returns of both are distributed normally. Nikos has asked his former students to estimate the Value-at-Risk at the 10% for each position.

1. Help Ali estimate the VaR10%  of the Greek portfolio (in $).

X = µ − 1.28 · σ = X = 0.08 − 1.28 · 0.3 ⇒ X = −0.304 or -30.4%

Thus, VaR10%  = 500 · (1 − 0.304) = 348mil .

2. Dustin finds that the two portfolios have the same VaR10% . What is the standard deviation of the Italian portfolio?

Thus, VaR10%  = 348 ⇒ X = −0.304

So we have, X = 0.04 − 1.28 · σ = −0.304 ⇒ 1.28 · σ = 0.344 ⇒ σ =  = 0.268 or 26.8%

Problem 3:  Roll the die . .

A game is set where you roll a die and your payoff is equal to the number you roll. Before you participate you want to check some things.. (Show the calculations or use an argument)t

1. What is your expected payoff of the game?

E(P) = [1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6] = 3.5

2. What is the variance of the payoff of the game?

VaT(P) = 2.92

3. What is the VaR at the 20% level?

The worst outcome (1) appears with probability 16,6%, which is below the 20% threshold.

Outcomes 1,2 appear with probability 33.3%, which is above the threshold; thus

VaR20%  = 2.

4. What is the Expected Shortfall at the 20% level?

ES(P) =  · 1 +  · 2 = 1.17

Problem 4:  Casino  Class

I am offering a game to my class, in order to fund my next trip to Europe!!  The game is simply tossing a fair coin 3 times in a row and the payment is equal to the number of Heads (so HHH will pay 3$, HHT will pay 2$ and so on..).

1.  Calculate the fair price of the game.

The 8 possible outcomes are {HHH,HHT,HTH,HTT,TTH,THH,THT,TTT}. Thus you make $3 with  probability, $2 with  , $1 with  and $0 with  . So,

E(P) =  · 3 +  · 2 +  · 1 +  · 0 = 1.5$

2. I decide to offer the game at the price of  1$.   Assume that my class has students with different risk attitudes (risk averse, risk neutral & risk lovers).  Can you tell me which ones will participate and which ones will not? Justify your answer.

.  Risk lovers will participate with certainty, because they are willing to offer more than the

fair price.

.  Risk neutral agents will participate with certainty, because they are willing to offer up to

the fair price.

.  For risk averse agents, it depends on their utility function. If their max price is less than

1$, they will not participate. If their max price is higher than 1$ they will participate.

3.  Can you infer my attitude towards risk? Explain.

I am a risk lover, because I offer a game that is not fair to me.  This means that on average I am going to lose money, but I get utility from the risk of the game.

Problem 5:  All Lotteries  Were NOT Made Equal

You are being offered two different lotteries A and B, with the following possible outcomes:

Probability

Lottery A

Lottery B

50%

9

4

50%

11

16

1.  Calculate the expected payoff and the standard deviation of both lotteries.

EP(A) = 0.5 · 9 + 0.5 · 11 = 10 = 0.5 · 4 + 0.5 · 16 = EP(B)

σ(A) =^0.5[(9 − 10)2 + (11 − 10)2] = 1

σ(B) =^0.5[(4 − 10)2 + (16 − 10)2] = 6

2.  Suppose that you can pick up one of the two lotteries for free. Which one would you pick in case you are (a) risk averse, (b) risk neutral, (c) a risk lover. Explain.

The risk averse agent will pick lottery A, because it has the same expected payoff, but lower risk than lottery B.

The risk lover will pick lottery B, because it has the same expected payoff and higher risk than lottery A .

The risk neutral agent will be indifferent between the two lotteries.

3.  Calculate the max price of lottery B for an agent with utility function, U(x) = ^x.  Is it above or below the fair price and why?

U(B) = (^4 +^16) = 3, so his max price is U(y) = 3 ⇒ ^y = 3 ⇒ y = 9

Since the agent is risk averse, the max price that he will be willing to offer for the more risky lottery would be lower than the max price of lottery A . In other words, she prefers lottery A and she is willing to pay more for it.

4.  Calculate the max price of lottery B for an agent with utility function, U(x) = x2 . Is it above or below the fair price and why?

U(B) = (42 + 162 ) = 136, so his max price is U(y) = 136 ⇒ y2  = 136 ⇒ y = 11.66

Since the agent is a risk lover, the max price that he will be willing to offer for the more risky lottery would be higher than the max price of lottery A . In other words, she prefers lottery B and she is willing to pay more for it.


2023-02-24