Question 1:  Optimization Methods

Please see this Colab.

Question 2:  Lie algebras and left-invariant vector fields

Let G be a Lie map:

group with group operation 兴 : G x G → G. For each

Lg : G → G

Lg (x) 全 g 兴 x

g l G, the left-translation (1)

is a diffeomorphism of G. The left-translation could be used to identify1 the tangent space Te (G) of G at the identity element e l G with the Lie algebra Lie(G) (the set of left-invariant vector fields on G), as follows:

ϕ : Te (G) → Lie(G)

ϕ(ω) = Vω                           (2)

where Vω  is the left-invariant vector field on G determined by:

Vω (x) 全 d(Lx )e (ω).                 (3)

In words:  we associate to each element ω l Te (G) the left-invariant vector field Vω   l Lie(G) whose value Vω (x) at x l G is the image of ω under the derivative of the left-translation map Lx that sends the identity e l G to x.

In this exercise, we will study the left-translation maps and left-invariant vector fields for our two favorite Lie group examples: Rn  (with vector addition as the group operation) and GL(n).

(a)  Given v l Rn , what is the corresponding left-translation map Lv : Rn  → Rn ?

(b) What is the derivative dLv  of the map Lv  you found in part (a)?

(c)  Given a vector ξ l T0 (Rn )  Rn  in Rn ’s Lie algebra, what is the left-invariant vector field Vξ  on Rn  determined by ξ? Interpret this result geometrically.

(d)  Given a matrix A l GL(n), what is the corresponding left-translation map LA :  GL(n) → GL(n)?

(e) What is the derivative dLA  of the map LA  you found in part (d)?

(f)  The tangent space TI (GL(n)) of GL(n) at the identity I l GL(n) is just Rn ×n , the set of all n x n matrices.2   Given a matrix Ω l TI (GL(n)), what is the left-invariant vector field VΩ  on GL(n) determined by Ω?

Question 3:  Exponential map of the orthogonal group

The exponential map for the general linear group GL(n) is just the usual matrix exponential:

exp: Rn ×n

exp(X) 全

→ GL(n)

2   Xk

k! .

k=0                     (4)

However, this formula (4) can sometimes be significantly simplified when applied to a subgroup G S GL(n). In this exercise, we will explore what this simplification looks like for the orthogonal

group O(2).

(a)  The Lie algebra Lie(O(n)) of the orthogonal group O(n) is Skew(n), the set of n-dimensional

skew-symmetric matrices:

Skew(n) 全{A l Rn ×n  f AT  = -A } .                                (5)

In particular, the Lie algebra of O(2) is:

Lie(O(2)) = Skew(2) = {╱-ω(0)   0(ω)、  l R2×2  f ω l R} .                (6)

Given an element:

Ω 全 ╱ -ω(0)   0(ω)、                               (7)

of Lie(O(2)), derive an expression for its kth power Ωk .  (Hint: it may help to work out the first few powers of Ω . Can you spot a pattern?)

(b)  Using the result of part (a), derive a simplified expression for exp(Ω).  (Hint: it may help to split the series in (4) into odd and even powers. Can you recognize these series?)          What is the geometric interpretation of exp(Ω)?

Question 4:  Motion on Lie groups

Let G be a Lie group with group operation 兴 : GxG → G and Lie algebra Lie(G). We saw in class that each ω l Lie(G) generates a left-invariant vector field Vω on G, and that the exponential map describes the integral  curves  (i.e. the trajectories ) of this vector field.  Specifically, the integral curve γ : R → G of the left-invariant vector field Vω  that starts at the point x l G at time t = 0 is given by:

γ(t) 全 x 兴 exp(tω).                                                       (8)

Intuitively, equation (8) provides a prescription for “moving around” on the Lie group G along the “direction” determined by ω .

In this exercise, we will see how one can apply (8) to interpolate Lie group-valued data – this is an important operation for robot kinematics.

(a) If a point x l G lies in the image of G’s exponential map,3  we write “log(x)” to denote one of x’s preimages,4  so that:

x = exp(log(x)).                                                     (9)

If G’s exponential map is surjective, then there is always at  least  one choice of log(x) l Lie(G) that will satisfy (9).

Now suppose that x, y l G and that G’s exponential map is surjective. Using (8), derive a formula for a curve γ : [0, 1] → G such that γ(0) = x and γ(1) = y .

(b)  The exponential map for Rn  is just the identity map:

exp: Rn  → Rn

exp(ξ) = ξ .                    (10)

Using (10), specialize your result from part (a) to derive a formula for a curve γ that joins x to y in Rn . Interpret this result geometrically.

(c)  The Lie group SE(3) of 3D robot poses can be modeled as the product manifold M 全 R3  x SO(3),5  equipped with the following group multiplication rule:

(t1 , R1 ) 兴 (t2 , R2 ) = (R1 t2 + t1 , R1 R2 ).          (11)

Given the two poses:

0-00(.)3(8)2   0-00(.)6(6)6．(、) ．(、)               (12)

apply the formula you derived in part (a) to calculate the “midpoint” γSE(3)(1/2) on the curve γSE(3) : [0, 1] → SE(3) from X0  to X1 .  (Hint:  you may find it helpful to use the homogeneous representation of SE(d).)

(d)  Since R3  and SO(3) are themselves Lie groups (under vector addition and matrix multi- plication, respectively), we can construct the product  Lie group P 全 R3  x SO(3):  this is the group whose elements are pairs of the form (t, R) l R3  x SO(3), equipped with the multiplication law

(t1 , R1 ) 兴P  (t2 , R2 ) = (t1 + t2 , R1 R2 ).                                   (13)

That is, in the product group P , we simply apply the group operations from R3  and SO(3) separately in each component.