Provide detailed answers to the following problems.

Problem 1. Let X ~ Gamma(α, β) with the pdf

f (x; α, β) = xa – 1 e –z/β  , x > 0.

(a) Find the cumulative distribution function (cdf) of X, call it F .

(b) Using the R software, plot the cdf F (x) versus a range of values of x e [0, 10], with

increment 0.01. This range can be created using the following command in R, x<-seq(0,10,by=0 .01)

Generate five random samples X1 , X2 , . . . , Xn  ~ Gamma(1, 4) of sizes

n = 10, 30, 60, 100, 300. Plot the empirical cdf (ecdf) of each of the samples on the same figure that you have the plot of F versus x. Use different colours or characters in R for the six plots on a single figure. Comment on your observations.

Problem 2.

(a) Let X1 , X2 , . . . , Xn  be a random sample from a distribution with µ = E(Xi ) and σ 2  = Var(Xi ) < o.  Find the asymptotic distribution of these statistics:  (i) n(2) , (ii) 1/n , (iii) exp(n ), for both cases of µ  0 and µ = 0.

(b)  Consider the random sample in part (a), and assume E(Xi(4)) < o. Show that, ^n(Sn(2) _ σ 2 ) _ N(0, µ4 _ σ4 )     as n → o,

where Sn(2) is the sample variance, and µ4  = E[(X _ µ)4]. What can we say about the asymptotic distribution of the sample standard deviation Sn ?

(c) Let Y ~ Poisson(λ). Find the asymptotic distribution of ^入(Y –)入 , as λ → o.

Problem 2. Let X1 , X2 , . . . , Xn  be a random sample of size n from

f(x; θ) = e – (z–9)    ,   x > θ

and f(x; θ) = 0, otherwise.

(a)  Show that n    (θ + 1), as n → o.

(b)  Show that X(1)   θ, as n → o.

(c) Using the results of (a)-(b), suggest two consistent estimators of θ which are also unbiased for θ .

(d) Find the UMVUE of θ, if exists.

Problem 4.  Let X1 , X2 , . . . , Xn  be a random sample from N(µ, 1), where µ e R is unknown.

(a) Find the CRLB for any unbiased estimator of µ2 .

(b) Find the UMVUE of µ2  and compare its variance with the CRLB in part (a).

Problem 5. Let X1 , X2 , . . . , Xn  be a random sample from the exponential distribution

with pdf

f (x; θ) = θe –9z    ,   x > 0

and θ > 0 is the unknown parameter.

(a)  Show that the estimator T (X1 , . . . , Xn ) =    n–乞i111xi   is the UMVUE of θ .

(b) Find the variance of T in part (a), and compare it with the CRLB.

(c) For a fixed x0  > 0, find the UMVUE of F (x0 ; θ) = P9 (X1  < x0 ).

Problem 6. Let X1 , X2 , . . . , Xn  be a random sample from Poisson(λ). If exists, (a) find the UMVUE of g1 (λ) = λk , for some fixed integer k > 0.

(b) find the UMVUE of g2 (λ) = P入 (X1  = 0).

Problem 7. Let X1 , X2 , . . . , Xn  be a random sample from N (µ, σ2 ), with both param- eters unknown.

(a)  Show that T (X1 , X2 , . . . , Xn ) = (n , Sn(2)) is a minimal sufficient statistics for this family. (It can be shown that T (X1 , X2 , . . . , Xn ) is also complete). (b) Find the UMVUE’s of µ , σ 2 , and σ .

Problem 8.  Assume that X1 , X2 , . . . , Xm  and Y1 , Y2 , . . . , Yn  are two independent ran-dom samples from N (µ1 , σ 2 ) and N (µ2 , σ 2 ), respectively. The unknown parameters are (µ1 , µ2 , σ 2 ).