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STA2570 Winter 2023

Assignment 1

Feb 11, 2023

1. Let C be the Frank copula with parameter θ = 5. You may look up the definition here:

https://en.wikipedia.org/wiki/Copula_ (probability_theory)

It can be readily implemented using available software packages which you can use.  Let (X, Y) be a bivariate random vector such that (i) its copula is C and (ii) both the marginal distributions of X and Y are both N (0, 1).

(a) Using a direct Monte Carlo simulation, determine the correlation

ρ = Cov(X, Y )

^Var(X) ^Var(Y ) .

between X and Y .  Using a preliminary study if necessary, determine a sample size needed such that the 99% confidence interval is shorter than 0 .01, and report one such confidence interval.

(b) Let F一1  be the common quantile function of X and Y . For q 兰 (0, 1), let λ(q) = P(Y > F一1 (q)EX > F一1 (q)).

Estimate λ(q), as accurately as you can, for q 兰 [0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95}.  This is related to the concept of (upper) tail dependence.

(c) Let ρ be the correlation in (a) [you may use the estimate you get], and let ( , ) be a bivariate normal random vector with zero mean and covariance matrix

Σ = ┌ρ(1)   1(ρ)┐ .

Find or estimate the corresponding values

(q) = P( > F一21 (q)E > F一11 (q)),

for the values of q in (b). Comment on your results.

2.  Consider a geometric Brownian motion

dSt = µStdt + σStdWt,    S0 = s0 ,

where µ = 0.3, σ = 0.4 and s0 = 10.

Simulate 100000 discretized Brownian paths over [0, 1] with time step δt = 2一9 . Note that we have the “exact solution” St = S0 exp ╱(µ 2 σ 2 )t + σWt、.

For 5 different step sizes: ∆t = 2p一1 δt, 1 k p k 5, apply both the Euler-Maruyama scheme (call the output EM ) and the Milstein scheme (call the output M ).

Plot the following graphs in log-log scale:

❼ Sample average of ES1 2 1(EM)E versus ∆t.

❼ Sample average of ES1 2 1(M)E versus ∆t.

❼ EPS1 2 sample average of 1(EM)E versus ∆t.

❼ EPS1 2 sample average of 1(M)E versus ∆t.

Fit a straight line for each graph and discuss your results in relation to the weak and strong convergence criteria.

Note: You may refer to the following review paper for a similar example. See in particular Figure 4.

❼ Higham, D. J. (2001). An algorithmic introduction to numerical simulation of stochas-

tic differential equations. SIAM Review, 43(3), 525–546.

3.  Consider, under the Black-Scholes model

dSt = rStdt + σStdWt ,    0 k t k T    (under Q),

a digital exotic option with payoff

CT  = 1[ min  Stk   < H},

where t1   < | | | < tm is a discrete collection of times before maturity. In this problem we want to estimate the price C0 at time 0 using importance sampling. In particular, we consider an experiment to find an “optimal change of measure” .

(a) If the payoff is 1[min0≤t≤T St  < H} (continuous monitoring instead of discrete moni-

toring), find the theoretical value of the option. Hint: Look up the distribution of the minimum of a Brownian motion over a time interval, and use the risk-neutral pricing formula.

(b) We use the following parameters (same as those used on p.266 of Glasserman):

- T = 0.25, r = 0.05, σ = 0.15, S0 = 95, H = 85, tk  = T , m = 50.

For θ > 0, let Qθ be the measure such that Wt  becomes a Brownian motion with negative drift:

Wt = 2θt + Wtθ ,

where Wθ is a Qθ -Brownian motion.  Derive the likelihood ratio (from Girsanov’s theorem) and the corresponding importance sampling estimator for the price C0  at t = 0.

(c)  Sample 100000 standard Brownian paths.  Note that we may reuse the same paths for different values of θ simply by adding a drift. Estimate the standard error of the importance sampling estimator over a reasonable range of θ . Plot the (estimated) variance as a function of θ . What is the optimal θ?