Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Math UA 325:  Analysis

Homework 4

Due February 23 at 11:59pm

1) Let A ⊂ R be a nonempty subset which is bounded above.  Show that a number b ∈ R is equal to sup A if and only if the following two conditions hold: b is an upper bound for A and Ae > 0 3x ∈ A s.t. x > b − e.

2) Let A ⊂ R be a nonempty finite subset.  Show that max A and minA exist (which means, show that sup A ∈ R exists and it belongs to A, and show that inf A ∈ R exists and it belongs to A).

Hint.  Use induction on the cardinality of A.

3) Let A ⊂ R be a nonempty subset which is bounded below, and x ∈ R<0 . Show that the scaled set xA is bounded above, that its supremum in R exists and satisfies

sup(xA) = xinf(A).

4) [Exercise 1.2.8] Given two real numbers x < y, so that there is an irra- tional number s ∈ R/Q which satisfies

x < s < y .

Hint.  Apply the density of Q to  x   and  y