Problem 1 (Nonlinear least squares, NLS.) (60 Points) Consider the model:

qt  = θ 1 kt(9)2 lt(9)3  + et． (1)

where qt is output/production, kt is capital and lt is labor. This is the typical specification of a Cobb-Douglas production function.

The parameter θ 1  is a proportionality factor capturing “total factor pro- ductivity”, the impact on output/production of factors other than capital and labor. The parameters θ2  and θ3  capture the “output elasticity” of cap- ital and labor, respectively. This is easy to see:

log(qt )   =   log(θ1 kt(9)2 lt(9)3 )

=   log(θ1 ) + log(kt(9)2 ) + log(lt(9)3 )

=   log(θ1 ) + θ2 log(kt ) + θ3 log(lt )．

Now, if we take a derivative of, say, the logarithm of output (qt ) with respect to the logarithm of capital (kt ), we obtain

? log(qt )

Because I am multiplying and dividing by the same object, this is, however, the same as:

aqta log(qt)

= θ2．

akt

Now, notice that and are just the derivative of log(qt ) with respect to qt   (namely, ) and the derivative of log(kt ) with respect to kt (namely, ). Thus,

= θ2．

which means that θ2  measures the “percentage change in output” given a “percentage change in capital” . This is “the elasticity of output with respect to capital” .  It addresses the question: if capital increases by 1%, say, what is the percentage increase in output? The answer is: θ2 1%.

Importantly, we expect θ2 to be smaller than 1. The idea is that a change in capital does not yield a one-to-one change in output.   If, for example, θ2   =  0．5,  a  1% change in capital would translate into a 0.5% change in output.  Naturally, θ3  has the exact same interpretation (for labor) and we are also expecting θ3  to be smaller than 1.

One interesting assumption to test is whether θ2 + θ3  = 1．This is called a case of “constant returns to scale” . What does it mean? Assume we change all inputs by ① multiplicatively.  Then, we are also changing the output by the same amount:

θ 1 (①kt )92 (①lt )93   = θ1 ① 92kt(9)2 ① 93lt(9)3 尸-     θ 1 ①kt(9)2 lt(9)3   = ①qt．

since  92+93=1

The case θ2  + θ3  > 1 is called “increasing returns to scale” (if we scale all inputs by ① we are scaling output by more).  The case θ2 + θ3  < 1 is called “decreasing returns to scale” (if we scale all inputs by ① we are scaling output by less).

Questions:

1.  (20 Points) Adapt my code for nonlinear least squares with two param- eters to estimate the model with three parameters in Eq. (1) using the Mizon data.

2.  (20 Points) Report (1) estimates, (2) standard errors and (3) t statistics for the three parameters and comment on the statistical significance of your estimates.