1. Let Y1 ;Y2 ;Y3  and Y4  be iid(9;o2 ). Let  =      t(4)=1 Yt .

● What are the expected value and variance of ?

● Now, consider a di§erent estimator of 9:

W = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ;

What are the expected value and variance of W?

● Which estimator of 9 do you prefer? Fully justify your answer.

2. Let Y1 ;Y2 ;Y3 ;:::;Y/  be iid(9;o2 ) and let  =       Yi

● DeÖne the class of lin左_r 左stim_tor of 9 by

/

Wa  =       ai Yi

i=1

where as are constants.  What restriction on the as is need for Wa  to be an unbiased estimator of 9?

● Find Var (Wa ).

● For any numbers ai , i = 1;:::;n, the following inequality holds

/ i1  ai、2  ≤ n i1  ai(2):

Use this (and above results) to show  is the α左st lin左_r unαi_s左A 左stim_tor (BLUE).

3.  Consider the constant expected return model

rit  = 9i + ∈it     t = 1; ··· ;T;   i = 1 (GS); 2 (AIG);    ∈it  ~ iid N(0;oi(2)); cov(∈1t; ∈2t) = o12 ; cor(∈1t; ∈2t) = u12

for the monthly cc returns on GS (Goldman Sachs) and AIG (American International Group).  The estimates (rounded for computations) are given (T = 100 months):

  GS     AIG    GS&AIG  

i     0.01   -0.03  12     0.01

i     0.1     0.3     12     0.4

● For both GS and AIG cc returns, compute (asymptotic) 95% CI for 9i  and oi(2) .

● Compute (asymptotic) 95% conÖdence interval for u12   (You will use SE(12 ) = ←  1 T(一p^)12(2) ).

● Test the hypothesis (signiÖcance tests) for i = 1; 2, with 5% sig- niÖcance level,

H0  : 9i  = 0   v.s.  H1  : 9i   0.

Are expected returns of these assets (statistically) di§erent from zero? Justify your answer.

● Test the hypothesis for i = 1; 2, with 5% signiÖcance level, H0  : o i(2)  = 0:0225   v.s.  H1  : o i(2)   0:0225.

4.  Suppose we have an i.i.d. sample {X1 ;:::;XT } with mean 9 and Önite variance o2 . Show that the sample variance

T

2  = (T 一 1)一1          (Xt 一 )2

t=1

is an unbiased estimator of o2 , where  = T一1        Xt .

5.  Suppose that  is an estimator of e constructed using a random sample with sample size T. Which of the following statement(s) is(are) correct?

(a) If Bias(;e) 二 0 as T 二 o, then  is a consistent estimator of e; (b) If Var() 二 0 as T 二 o, then  is a consistent estimator of e;

(c) If MSE(;e) 二 0 as T 二 o, then  is a consistent estimator of e.

Python Exercises

Start MS Word or Jupyter notebook, and open a blank document. You will save all of your codes and results in this document.

1. Let X and Y be distributed bivariate normal with

9T  = 0:01; 9x  = 0:05; oT  = 0:25; ox  = 0:15:

(a) Using Python function multiv_ri_t左  norm_l．rvsì夕, simulate 100 observations from the bivariate distribution with uTx  = 0:99. Us- ing the plt．só_tt左rì夕 function create a scatterplot of the observa- tions and comment on the direction and strength of the linear association.  Using the function multiv_ri_t左  norm_l．óAfì夕, com- pute the joint probability P (X ≤ 0;Y ≤ 0) :

(b) Do the same exercise with uTx  = 0:9.

(c) Do the same exercise with uTx  = 0:5.

(d) Do the same exercise with uTx  = 0.

(e) Do the same exercise with uTx  = 一0:9.

2. Maximum Likelihood Estimation (MLE). Download the Microsoft daily price from Jan 02, 2010 to Feb 02, 2021 from Y_hoo Finance, and perform the following data analysis:

(a) Assume the daily cc returns are i.i.d.  N(9;o2 ).  Find the maxi- mum likelihood estimators of 9 and o, and the standard errors. Do we reject the null hypothesis H0  : 9 = 0? (Hint: you can deÖne a negative log-likelihood function and then apply sóipy．optimi3左ì夕

to Önd the minimizer and inverse Hessian matrix.  You can also

apply norm．ftì夕 to the cc return data, but standard errors will not be available.)

(b)  Calculate the sample skewness and the sample kurtosis using the estimators of 9 and o you obtain in question a. Are the estimators of skewness and kurtosis consistent with the normal assumption obtained in question a?