This week, we’ll be covering more limits of functions.

Reading & Videos

● (Course notes available here)

● Section 2.2 - Uniqueness of Limits

● Section 2.2 - Sequential Characterization of Limits

● Section 2.3 - Arithmetic Rules for Limits of Functions

● Section 2.4 - One-sided limits

● Section 2.5 - Squeeze Theorem for Limits of Functions

● Section 2.6 - Fundamental Trig Limit

Practice Problems

1. Use the e 一 δ definition of limits to establish the following:

(a)  lim 2x + 1 = 7

xo3

(b)   lim  1 一 9x = 10

xo二1

(c)  lim 3 = 3 xo5

(d)  lim x2 一 4x + 4 = 0 xo2

(e)  lim 1 = 1

2. Let f(x) > 0 for all x a and assume lim f(x) = L with L 士&.  Use the definition of limits to xoa

show that L ≥ 0. Hint: build a contradiction by assuming L < 0.

3. For the following limits, lim f(x), find a sequence xn  such that xn  → a, xn a and then use this

sequence to show that the limits do not exist.

(a)  lim 1

(b)  lim ln lxl

xo0

4. Prove that lim             does not exist by finding two sequences xn  and yn  that both converge to 3,

xn 3, yn 3 for all n ∈ N, and  lim f(xn ) lim f(yn ).  Explain why this proves the limit does

not exist.

5.  Compute the following limits using any method. If they do not exist, prove it.

x2 一 16

xo4    x 一 4

x3 一 6x2 + 12x 一 8

xo2                  x 一 2

^x 一 4

xo16  x 一 16

tan2 (x) + 1

xoπ/2       sec2 (x)

l3x 一 9l

xo3    3 一 x

(f)x(l)imo1 f (x) with f (x) = ,lx(1)一(一)11(l)

6.  Consider the function

x < b

x > b

Determine all values of b ∈ R for which lim f (x) exists. Find the limit in each case.  Prove that the

xob

limit does not exist for any other choice of b.

7.  Compute the following limits (without using l’Hopital’s rule, if you are familiar with it):

sin2 (x)

xo0       x2

1 一 cos(x)

xo0           x2

sin[3(x2 一 4)]

xo2           x 一 2

sin(x2 )

xo0 ′ lx3 l