More stuff related to sequences this week!  We’ll introduce the Squeeze Theorem and Monotonic Con- vergence Theorem along with mathematical induction.  We’ll also start on functions.  Note that we’ll be skipping section 1.5 on series 9, this is something we’ll cover in Math 138 9.

Reading & Videos

● (Course notes available here)

● Section 1.3 - Squeeze Theorem for Sequences

● Section 1.4 - Least Upper Bound Property

● Section 1.4 - Monotone Convergence Theorem

● Section 1.X - Mathematical Induction

● Section 2.1 - Limits of Functions (Part 1), Limits of Functions (Part 2)

Practice Problems

1. Assumingn(l)an =n(l)bn = 0 where an > 0 and bn > 0, determinen(l) (an sin(n) ↓ bn cos(n)) .

2. Let’s examine how absolute values and limits interact.

(a) The statement

If n(l) |an | = |L| thenn(l) an = L

is false in general. Provide a counter-example.

(b) The statement

If n(l) an = L thenn(l) |an | = |L|

is true. Show this using the definition of limits. Hint: ||a| ± |b|| s |a ± b|.

(Even though it is not necessary for this question, you should be able to show that the hint is true.)

(c) Is the statement

Ifn(l) |an | = 0 thenn(l) an = 0

true? If so, argue why, if not, provide a counterexample.

3.  Compute the following limits using any method.

sin(n2 )

n → o       n2

3n ± (±1)n

n → o           n

(c)  lim  n! |Hint: Write n! = 1 . 2 . 3 . . . n and nn = n . n . n . . . n and use the fact that 0 < n! |

3n3 ↓ 2n2 ± n ± 1

n → o         n3 ↓ n ↓ 3

n2 ↓ 2n ± 6

n → o        n ↓ 1

4. Define a sequence {an } by a1 = 1 and an+1 =    6     for n > 1.

(a) By induction, show that {an } is an increasing sequence that is bounded above by 2. (b) Prove that this sequence is convergent and find n(l)an .

5. Define a sequence {an } by a1 = ^2 and an+1 = ^2 ↓ an .

(a) By induction, show that {an } is an increasing sequence that is bounded above by 3. (b) Prove that this sequence is convergent and find n(l)an .