1.  Consider the following population model

dN                        N

= 0.1N(1 −       ) − 5    ,    N(0) = 100

dt

where k, A, B are positive constants.

(b)  Solve the initial value problem.

(c)  Determine the time that the population extincts (N(T) = 0).  Round your answer to one decimal place.

2.  Consider a simple pendulum of length L.  The angle the pendulum creates (measured from the vertical) at a time t can be described by the following second-order DE,

 + ω2  sinθ = 0 ,   where ω = 4  

The DE is independent of the mass connected to the pendulum and here g is the acceleration due to gravity (a known, constant value).

(a) Use the method of reduction of order to solve this DE. You will not be able to solve for θ

directly but will be able to represent t as an appropriate integral.

(b) Using the linearization sin(θ) ≈ θ, solve the original DE subject to the initial conditions

θ(0) = θ0 , θ\ (0) = 0 and determine the period of the pendulum.

3.  Solve the following DEs/IVPs.

(a)  (ex − 3x2 y2 ) y\ = 2xy3 − y ex

(b)   + y = y2 (x − 1) , y(0) = 1

(c)  − 1 + (y\ )2 + y y\\ = 0,    x > 0, y > 0

(d) x(x2 y\\ + y\ ) + e  = 0,    y(1) = y\ (1) =

4. For the following IVPs determine if the IVP has a unique solution; if it does, then determine the interval on which the unique solution exists for each IC given.

(a)  et x\\ + ln(t2 − 1)x\ + ln((1 − t)2 )x = ^4 − t2

i. x(0) = 1, x\ (0) = 1

ii. x (  ) = 1, x\  (  ) = 1

iii. x(−2) = 1, x\ ( −2) = 1

(b)   p\\ = et (p + 1)

i. p(t0 ) = 0,p\ (t0 ) = 1 where t0  ∈ R is given.

5.  Consider the model for a rocket launched from the surface of the earth subject only to the force

of

gravity

dv          GM

dr          r2   ,

v(R) = v0

(1)

Here v is the velocity of the object, r is the distance of the object from the center of the earth, G is the universal gravitation constant, M is the mass of the earth, R is the radius of the earth and v0  is the initial velocity.  In this problem, we will consider a different way of determining dimensionless variables.

(a) Write down the dimensions of all the constants and variables in the problem.  (Recall that the units of G are ).

(b)  Show that introducing the scaled variables τ =  , x =  , w =  in (1) leads to the DE

w dw = −  GMTc(2)

dx            x2 Lc(3)   ,

Hint: Use the chain rule.

w(Lc(−)1 R) =

(c)  Determine appropriate choices for Tc  and Lc  and hence for x and w that leads to the dimen-

sionless model

dw           1

dx         x2 ,

w(1) = w0