Guidelines to Turn the HW in:

(b) The solution to each problem must contain a summary of the main conclusions or final answers, handwritten or typed using either word or R Markdown (or a combination of these).

(b) If you use R to obtain the solutions, explicitly refer to the R output. You also need to include the R code as a separate image or included in the word or Markdown file.

Problems.

1. Let X, X1 , . . . , Xn  f and define

γ := 匝 ╱尸 f (x)fˆn (x)dx、= 尸 f (x)匝 ╱fˆn (x)、dx.

Since 匝 ╱fˆn (x)、= 匝(K(x 一 X)) =: fsm (x), we have γ =    f (x)fsm (x)dx.  In

class, we claimed that

匝 ╱  i1  fˆ(↘i)(Xi )\ = γ,

where fˆ(↘i)(x) is the leave-one-out kernel density estimator. Show the validity of this claim. Hint: First, compute 匝 ╱fˆ(↘i)(Xi )|Xi、.

2.  Get the data on fragments of glass collected in forensic work from canvas.

(a) Estimate the density of the first variable (refractive index) using a his- togram and a kernel density estimator. Experiment with 2 or 3 different binwidths and bandwidths.

(b) Now, use cross-validation to choose the amount of smoothing.  Add the

confidence intervals fˆn (x) 士 z在 (x)  and generate a graph sim-

ilar to the first graph in Section 2.5 of Garc´ıa-Portgu´es’ notes.

3. Exercise 2.13 in “A Short Course on Nonparametric Curve Estimation” by Garc´ıa-Portugu´es.

Remark:  Only consider the bimodal density  (see Section 2.4 in the notes), and the bandwidth selectors RT (Rule of Thumb), UCV (least-squares cross- validation method as seen in class), and DPI (the Sheather-Jones method).