Practice Problems

1. Use the formal definition of limits to prove each statement below:

2n  

n→o n + 1

6n - 3n2 - 2

n→o       (n - 1)2

(c)  lim 1 - 2n  = -< n→o

2. Determine if the following statements are true or false.  If true, argue your case mathematically, if false, provide a counterexample.

(a) If  lim an  =  lim bn  = < then  lim (an + bn ) = <

n→o             n→o                                n→o

(c) If an  ● bn  ● cn  for all n,  lim an  = L and  lim cn  = M, then  lim bn  = K with L ● K ● M .

an  = ,

when n is a perfect square

otherwise

Use the definition of convergence to show this sequence does not have a limit of 0.  Hint:  consider building a contradiction.

4.  Show that if a sequence /an { converges to L then there are infinitely many terms of the sequence that can be made arbitrarily close to one another. Specifically, show that eventually }an - am } can be made arbitrarily small (i.e. for a n, m passed a certain point). Note that m and n are not necessarily consecutive integers. Such sequences are called Cauchy Sequences.

5. In this question we will prove the following:

Assuming  lim an  = L,  lim bn  = M and an  < bn  for all n, then it must be the case that L < M

(a) Use the definition of limits to show that for all c, eventually

L - c < an  < bn  < M + c

(the word “eventually” is meant to take the place of the statement “for all n greater than some N”)

(b)  Since c is arbitrary the inequality above might help you “feel” that L < M .  That is, we can

make c so small that “basically L < M” . One way of showing this mathematically is to assume that L > M and come up with a contradiction.

That is, let L = M + d for some positive number d.  Use this to arrive at a contradiction and thus deduce L < M .

6. Prove (using the definition) that if an  > 0 for all n and  lim an  = L, then  lim ^an  = ^L.  [Hint:

Consider the cases L = 0 and L  0 separately.]