Instructions

(1) This assignment is due on Friday February 3rd.

(2) Please submit your written solutions to crowdmark with each problem started on a separate page.

Question 1. Suppose n(t + 1) = λn(t) + C with |λ| = 1. Determine what happens to n(t) as t → ∞ .

Question 2. A alternative to the the discrete-time logistic model we studied in class is called the Beverton-Holt model, which is given by

Rn(t) 

(1)                                                            n(t + 1) =             .

a. Prove that if n(0) = n0  ≥ 0 and K = M(R − 1), then

Kn0                

n(t) =

for all t ∈ N.

b. Prove that if R > 1 and n0  > 0, then n(t) → K as t → ∞ .

Question 3. The Ricker model is an alternative to the discrete-time logistic growth model we discussed in class. If n(t) is the population size at time t, then

(2)                                                        n(t + 1) = n(t)eR (1 − )

a. Find all the fixed points of the Ricker model.

b. For each fixed point, determine an interval of R values for which the fixed point is stable.

c. Draw a cobweb diagram for K = 1, r = 1.8 and n(0) = 0.4. Describe the long-term behaviour of n(t).

d. Draw a cobweb diagram for K = 1, r = 2.3 and n(0) = 0.4. Describe the long-term behaviour of n(t).

e. Draw a cobweb diagram for K = 1, r = 2.6 and n(0) = 0.4. Describe the long-term behaviour of n(t).

Question 4. An alternative to the continuous-time logistic growth model we discussed in class is given by

(3)                                                            = rn(t)ln ( )

where r > 0 is the per captita growth rate, and K > 0 is the carrying capacity.

a. Find an explicit solution for n(t).

b. Using the solution found in part a, show that x∗ = K is asymptotically stable.