Part A - Multiple Choice Questions. Circle the answer you think is correct. Each correct answer earns 4 points. Each incorrect answer earns 0 points. A small space is provided for your rough work.

1.  (4 points) If A =  ] and B =  ] then AB + AT  equals         (a)   ]     (b)  [7 3(3)5(7) ]     (c)   ]     (d)   ] (e) none of (a)-(d)

2.  (4 points) Let Z = ax + by where x and y are variables and a,b > 0 are constants.  If (x,y) satisfies the constraints:  x ≤ y ,  x − 3y ≥ −6,  and  x + y ≥ 2  then

(a) the maximum value of Z occurs amongst (0, 2), (3, 3) and (1, 1).

(b) the minimum value of Z occurs amongst (0, 2), (3, 3) and (1, 1).

(c) the minimum value of Z could also occur at the point (2, 2).

(d) both (a) and (b) are true, but (c) is false.

(e) all of (a), (b), and (c) are true.

3.  (4 points) How many 3 × 3 diagonal matrices D are there that satisfy D2  =           ? (a) 4     (b) 3     (c)  2     (d)  1     (e) more than 4

4.  (4 points) Let A = [aij ] be the 9 × 9 upper triangular matrix where potentially nonzero entries

must satisfy aij  = i2 + j2 − 4j . The smallest element in A is

(a)  −4     (b)  −3     (c)  −2     (d) 0     (e) none of (a) - (d)

5.  (4 points) Exactly how many of the following statements are always true?

(i) Different 2 × 2 matrices can have the same reduced form.

(ii) If the product of two matrices equals the zero matrix, then at least one of the two matrices

must be the zero matrix.

(iii) Every system of m ≥ 2 homogeneous linear equations in n > m unknowns has infinitely

many solutions.

(iv) A non-zero objective function defined on a non-empty feasible region has both a maximum

and minimum value.

(a) 4     (b) 3     (c)  2     (d)  1     (e) 0

Part B - Full  Solution Problem  Solving.  Full points are awarded for solutions that are numerically correct and sufficiently display concepts and methods in the curriculum of MATA33.

1.  (20 points) Find the maximum and minimum values of the function Z = −2x − 8y subject to the five constraints: x ≥ −2,  y ≥ −3,  −x + y ≤ 3,  x + 4y ≤ 12,  and  5x − 2y ≤ 16.

(To earn full points, your solution must include a neat, labeled diagrams of the feasible region, the location of all points where Z is optimized, and all of your calculations.)

2.  (10 points) Use the method of reduction to solve the system of linear equations

x + 3y − 4z = −3

5x −  y + 2z = 8

−2x − 5y + 8z = 8

(To obtain full points, your answer must include the reduced form of the augmented matrix and must clearly state the solution to the system.)

3.  (10 points)  Let M =  l   」

「     0         0       0   −2   −10   −4  .

State the system of linear equations whose augmented matrix is M .  Find the reduced form of M and hence solve the system.

4.  (13 points)  Consider the unbounded region R illustrated below.  The boundaries of R are in- cluded in R.

(a)  State a system of four linear inequalities with integer coefficients whose solution is R.

(b) Let 0 < m < 1. Show that every objective function of the form Z = mx−y where (x,y) ∈ R

has no minimum value but has a maximum value at (0, 0).

5.  (13 points) A company makes and sells four products: P1 , P2 , P3  and P4 . Each product has the same three types of production costs: c1  is for materials, c2  is for labour, and c3  is for overhead. Consider the “product-cost” matrix

where kij  = the number of cents per dollar of revenue from selling Pj  that services cost ci .        (For example, k23  = 12. This means 12 cents out of every dollar of revenue from selling product P3  is committed to labour, which is cost c2 .)

(a)  State the matrices A and S such that the entries in AK are the average production costs

per product and the entries in KS are the sum-total of each production cost.

(b)  Suppose there is a revision in the production costs as follows:  all costs for P1  increase by

6 cents; all costs for P2  decrease by 5%; all costs for P3  remain the same; all costs for P4 increase by 10%.  State the matrix C so that the sum K + C has entries that reflect the revised production costs as described above.

(c) Find a 4 × 4 diagonal matrix M such that the entries in KM give the revised production costs described in part (b), or explain why no such matrix M exists.

6.  (11 points)   (a) Assume that 2 × 2 matrices P =  ] and Q = [y(x)   z(y) ] commute. Find non-zero numbers a, b and c such that ax + by + cz = 0 and a > 0.

(b) Let A be an m × n matrix (m,n ≥ 2) and assume there is some n × m matrix C such that

CA = I . Prove the matrix equation AX = B has a solution X for every m × 1 matrix B .