Part A - Multiple Choice Questions. Circle the answer you think is correct. Each correct answer earns 4 points. Each incorrect answer earns 0 points. A small space is provided for your rough work.

1.  (4 points) If A =  ] and B =  ] and AB + B = −2C then C equals            (a)   ]     (b)   ]     (c)   ]     (d)   ]     (e) none of (a) - (d)

2.  (4 points) A given system of m homogeneous linear equations in n variables where n > m ≥ 1

(a) has only the trivial solution

(b) has a unique non-trivial solution

(c) has infinitely many solutions

(d) may not have any solutions

(e) can exist such that none of (a) - (d) are true

3.  (4 points) The maximum value of Z = −2x+y subject to x ≥ −2, x−y ≤ 1  and  −1 ≤ y ≤ 1 is (a) 6     (b)  5     (c) 4     (d) 3     (e) none of (a) - (d)

4.  (4 points) Let A = [aij ] be an 8 × 8 matrix where aij  = i2  − 2i + j .  Exactly how many entries in A are equal to 4?

(a) 3     (b)  2     (c)  1     (d) more than 3     (e) none of (a) - (d)

5.  (4 points) Exactly how many of the following statements are always true ?

(i) Equivalent matrices have the same solution.

(ii) If the product of two matrices equals the zero matrix, then at least one of the two matrices

must be the zero matrix.

(iii) Different matrices of the same size can have the same reduced form.

(iv) If C and D are matrices and the product CD is defined, then so is the product DC . (a) 4     (b) 3     (c)  2     (d)  1     (e) 0

Part B - Full  Solution Problem  Solving.  Full points are awarded for solutions that are numerically correct and sufficiently display concepts and methods in the curriculum of MATA33.

1.  (20 points) Find the maximum and minimum values of the function Z = −3x + 6y subject to the constraints x − y ≥ −3,  x + y ≤ 7,  x − 2y ≤ 4  and  x,y ≥ 0.

(To earn full points, your solution must include a neat, labeled diagrams of the feasible region, the location of all points where Z is optimized, and all of your calculations.)

2.  (12 points) Use the method of reduction to solve the system of linear equations

2x + 5y + 3z = 3

x + 2y + 3z = 5

x         + 8z = 17

(To obtain full points, your answer must include the reduced form of the augmented matrix.)

3.  (11 points) If B =  ], find all value(s) of a, b and c such that

BBT  =  ] .

4.  (11 points) Let A =  「(l) −   −         −   .  State the system of linear equations whose augmented matrix is A. Find the reduced form of A and hence solve the system.

5.  (11 points)  Consider an objective function of the form Z = ax + by where a and b are positive constants. Let R represent the feasible region for the constraints   3x + 2y ≥ 6,  x − y ≥ −3     and  x − 2y ≤ 2. (R is illustrated below; the boundaries of R are included in R).

(a) Find the value of the constants a and b such that Z has a minimum value of 25 at every

point on the line segment joining A(0, 3) and B(2, 0).

(b) Explain why no choice of positive constants a and b will give a maximum value for Z on R.

6.  (12 points) Four MBA students take the same six courses at graduate business school.  Their

final marks in these courses are recorded (out of 100) in the matrix M = [mij ] where mij  = the final mark in course j for MBA student i.

(a)  State the matrices C and Q such that (i) the entries in the product MQT  are the overall

average final marks for each student and (ii) the entries in the product CM are the overall average final marks for each course.

(b)  State the matrix R such that the entries in the product RM represent a 5% increase in the

final grades for all students in all courses.

(c)  Suppose the marks in M are altered as follows: the final mark for each student in Course #2 is reduced by 3 points, the final mark for each student in Course #5 is increased by 5 points, and all other marks remain unchanged. State the matrix K so that the sum K +M has entries that reflect the alteration of the marks as described above.