Part A - Multiple Choice Questions. Circle the answer you think is correct. Each correct answer earns 5 points. Each incorrect answer earns 0 points.

1.  (5 points) Taking the convention where we shade the anti-region, consider the unshaded region R drawn below. Which of the following systems of inequalities best describes R?

(a)  2x − y > −4,  x > −2,  y ≤ 1

(b)  2x − y < −4,  x ≥ −2,  y < 1

(c)  2x − y < −4,  x > −2,  y ≤ 1

(d)  2x − y > −4,  x ≥ −2,  y < 1

(e)  2x − y ≥ −4,  x ≥ −2,  y < 1

(f)  2x − y ≥ −4,  x > −2,  y ≤ 1

2.  (5 points) Let A =  [Aij ] be a square matrix of order 7 that is upper triangular for which all entries not required to be 0 satisfy Aij  = ij − j + 1. Then A37 + A51 + A22  is equal to

(a) 3     (b)  15     (c)  17     (d)  18     (e)  19

Part B - Full  Solution Problem  Solving.  Full points are awarded for solutions that are numerically correct and sufficiently display concepts and methods in the curriculum of MATA33.

1.  (16 points) Let R represent the region consisting of all points within and on the edges of the

quadrilateral whose vertices are (−2, 1), (2, 1), (0, −1) and (−2, −1).

(a) Sketch the region R by shading the anti-region.

(b) Find four linear inequalities whose solution set is the region R.

(c) Let a and b be positive real constants.  Find the maximum and minimum values (if they exist) of the function Z = ax + by on R.

(To earn full points, your solution must include a neat, labeled diagram of the feasible region, the location of all points where Z is optimized, and all calculations. If there is no maximum or minimum, provide justification showing this. If needed, continue your work on the next page.)

2.  (16 points) Find the maximum and minimum values (if they exist) of the function Z = 2x + 2y subject to the constraints: −2 ≤ (2y − x) ≤ 6,  x + y ≤ 3 and x ≤ 2.

(To earn full points, your solution must include a neat, labeled diagram of the feasible region, the location of all points where Z is optimized, and all calculations. If there is no maximum or minimum, provide justification showing this. If needed, continue your work on the next page.)

3.  (16 points) Use the method of reduction to solve the following system of three linear equations in four variables:

w + x − 3z = 1,

2w + 2x − 2y + z = 0,

−y + 3z = 0.

(To obtain full points, your answer must include the reduced form of the augmented matrix and must clearly state the solution to the system.)

4.  (16 points) Let B =  ] and D =      

0(0) J

3  .

Determine the matrix A if (BT B)2 − (D + A − I) = O .

5.  (11 points) A manufacturing company produces three products: forks, spoons, and knives. The profits for each fork, spoon, and knife sold are $0.50, $0.35, and $0.75, respectively. Fixed costs are $1,000 per year, and the costs of producing each fork, spoon and knife are $1.25, $1.00, and $2, respectively.  Next year, a total of 25,000 units of all three products is to be produced and sold, and a total profit of $10,000 is to be realized.  Write down a matrix equation in the form AX = B that when solved determines how many units of each of the products should be produced and sold next year if total cost is to be $29,000.  To obtain full points, your answer must clearly indicate what your variables represent. Do not solve the system!