Part A - Multiple Choice Questions. Circle the answer you think is correct. Each correct answer earns 5 points. Each incorrect answer earns 0 points.

1.  (5 points) Let b be a real constant.  Determine the maximum value (if it exists) of Z = x + by subject to the following constraints: 2x + 2y ≥ 16,  4x + y ≥ 20 and x,y ≥ 0.

(a) 8

(b)  20b

(c) 4 + 4b

(d) There is no maximum value

(e) The answer depends on the value of b

3.  (5 points) A matrix A is called symmetric if AT  = A. Let C be a square matrix of order n ≥ 2 (C does not need to be symmetric). Which of the following matrices must be symmetric? Select the most appropriate answer.

(a) 4CT C

(b)  C + CT

(c)  C2

(d) only (a) and (b)  (e) all of (a), (b), (c)

4.  (5 points) Determine that minimum value  (if it exists) of Z  =  y subject to the constraints y ≤ x,  y − x ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

(a)  1

(b) 0

(c)  −1

(d) There is no minimum value because the feasible region is unbounded. (e) There is no minimum value because the feasible region is empty.

5.  (5 points) Investors I1  and I2  each have a portfolio consisting of the same three stocks:  S1 , S2 and S3 .  Consider the 2 × 3 matrix Q = [qij ] where qij  is the number of shares of Stock Sj  held by investor Ii . If AT  = [1  1  1], then the (2, 1)-entry in the matrix product QA is equal to

(a) the total number of shares of stock S1  held by I1  and I2  (combined). (b) the total number of shares of stock S2  held by I1  and I2  (combined). (c) the total number of shares of stock S3  held by I1  and I2  (combined). (d) the total number of shares of S1 , S2  and S3  (combined) held by I1 .   (e) the total number of shares of S1 , S2  and S3  (combined) held by I2 .

Part B - Full  Solution Problem  Solving.  Full points are awarded for solutions that are numerically correct and sufficiently display concepts and methods in the curriculum of MATA33.

1.  (16 points) Find the maximum and minimum values (if they exist) of the function Z = 3y − 3x subject to x + y ≥ 5,  x − y ≤ 1,  4 ≤ y ≤ 6 and x ≥ 0.

(To earn full points, your solution must include a neat, labeled diagram of the feasible region, the location of all points where Z is optimized, and all calculations. If there is no maximum or minimum, provide justification showing this. If needed, continue your work on the next page.)

2.  (16 points)  (a) Give a graphical solution to the system y − 3x < 6 and x − y > −3. Is the region non-empty? Bounded? Standard?

(b) Give a graphical solution to the system 2x + y ≤ 2 and −2x − y ≤ 2.

Is the region non-empty? Bounded? Standard?

3.  (16 points) Using an augmented matrix, find all solutions (i.e., values of a, b and c) to the matrix equation:

l 「

− 2(2)   − 1(1)   −1(3)    「(l) b(a)   =  「(l) 2(1)   .

4.  (16 points) Let A = ] and B = ].

(a) Find all values of x (if any exist) such that the matrix A + B2  is a diagonal matrix.

(b) For each value of x found in (a), determine all diagonal matrices that satisfy D2  = A + B2 .

5.  (11 points) Write down a linear programming problem (with variables x and y) that models the following scenario. To obtain full points, your answer must clearly indicate what your variables represent, what the objective function is, and all constraints that x and y must satisfy.

Note: You do not need to draw the region nor determine the minimum cost!

A company produces two types of can openers: manual and electric.  Each requires in its man-

ufacture the use of three machines:  A, B, and C. Each manual can opener requires the use of machine A for 2 hours, machine B for 1 hour, and machine C for 1 hour. An electric can opener requires 1 hour on A, 2 hours on B, and 1 hour on C. Furthermore, suppose the maximum num- bers of hours available per month for the use of machines A, B, and C are 180, 160, and 100, respectively.  The profit on a manual can opener is $4, and on an electric can opener it is $6. Assume the company can sell all the can openers it can produce.  Set up a linear programming problem whose solution determines the number of each type of can openers the company should produce in order to maximize the monthly profit.