STAT 153 - Introduction to Time Series Spring 2023 Homework 1

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STAT 153 - Introduction to Time Series

Spring 2023

Homework 1

1.  (White noise)   We say {Xt } is white noise WN(0,σ2 ) if {Xt } is uncorrelated, i.e., Cov(Xt1 ,Xt2 ) = 0 for any t1  and t2 , and E[Xt] = 0, Var(Xt ) = σ 2 .  Based on this definition, we may see that not all white noise model contains i.i.d.  variables.  This question provides one such counterexample.

Suppose that {Wt } and {Zt } are independent and identically distributed sequences, with P(Wt  = 0) = P(Wt  = 1) = 1/2 and P(Zt  = −1) = P(Zt  = 1) = 1/2.  We define the time series model

Xt  = Wt (1 − Wt −1)Zt .

Prove that {Xt } satisfies the above definition of white noise but X1 ,X2 , . . .  are not i.i.d.

2.  (Fundamentals on covariance function)   This question reviews some fundamen- tal properties of covariance function, which is essential for computing autocovariance function.

(a)  Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

(b)  Cov(X,X) = Var(X)

(c) For any constant a, Cov(aX,Y) = aCov(X,Y)

(d) For any constant a, Cov(a + X,Y) = Cov(X,Y) (e) If X and Y are independent, Cov(X,Y) = 0

(f)  Cov(X,Y) = 0 does not imply that X and Y are independent

(g)  Cov(对 aiXi , 对 bj Yj )  =  对 对 ainj Cov(Xi ,Yj ), where ai ,bj   are con- stants

3.  (Stationarity)   For each of the following time series, identify if it is a stationary process. If yes, compute the mean and autocovariance function. Here, we assume that {Wt } is i.i.d. N(0, 1).

(a) Xt  = t + W5

(b) Xt  = t + Wt

(c) Xt  = Wt2

(d) Xt  = Wt Wt −2

(e) Xt  = Wt − Wt −1

(f) Let W1  and W2  be independent random variables, each with mean 0 and variance

σ 2 , and let ψ be a constant. Consider the following process:

Xt  = W1 cos(ψt) + W2 sin(ψt)

4.  (ACF for prediction) Suppose we would like to predict a single stationary time series Xt with zero mean and autocorrelation function ρ(h) at some time t in the future, l > 0,

(a) If we predict using only of multiplicative of Xt , i.e., cXt for some constant c, prove that the mean squared prediction error

MSE(c) = E[(Xt+l  − cXt )2]

is minimized by the value

c∗ = ρ(l).

(b)  Show that the minimized mean squared error is

MSE(c∗ ) = γ(0)[1 − ρ2 (l)].

(c)  Show that if Xt+l  = cXt  indeed holds, then

{

5.  (R simulation)  Please include both the plots and results in the answers. Recommend using R markdown.

(a)  Simulate a series of n = 500 AR(1) observations with σ = 1 and compute both the sample ACF ρˆ(h) and ACF for h ≤ 20.  Compare the differences of sample

ACF and ACF. Hint: use relevant functions in R instead of hardcoding ACF. (b) Repeat part (a) using only n = 50. How does changing n affect the results?


2023-02-08