Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH170S: Homework 2

Due:  Monday at 11:59 pm, Feburary 6.

§6.3:  Order statistics

Problem 1. Let Y1  < Y2  <  < Yn  be the order statistics of a random sample of size n from a distribution with pdf f(x) = e—北/2 , 0 < x < ∞ .

(1)  Find the pdf of Yr .

(2)  Determine the pdf of U = e —Yr /2 .

§6.4:  Maximum likelihood and Method of Moments Estimation

Problem 2.

A random sample X1 ,X2 , . . . ,Xn  of size n is taken from a Poisson distribution with a mean λ , 0 < λ < ∞ . Show that the maximum likelihood estimator for λ is  =  .

Problem 3.

Let X1 ,X2 , . . . ,Xn  be a  random sample from distributions with the given  probability density function.  In each case, ind the maximum likelihood estimator aˆ.

(1) f(x;a) = (1/a2 )xe —北/e , 0 < x < ∞ , 0 < a < ∞ .

(2) f(x;a) = axe — 1 , 0 < x < 1, 0 < a < ∞ .

Problem 4.

Let X1 ,X2 , . . . ,Xn  be a random sample from the normal distribution with unknown mean a and variance 1, i.e., N(a,1).

(1) Show  that  the  maximum  likelihood  estimator  (MLE)  of a  is  the  sample  mean    = n

 对 Xi .

i=1

(2) Show that the variance of the MLE is 1/n.

(3)  Consider another estimator Y = (X1 + X2 )/2. Show that Y is an unbiased estimator.

(4)  From the class, we learned that the sample means are unbiased, so MLE for this problem is unbiased as well.  Briely explain why the MLE is better than the estimator Y in part

(3), even if both estimators are unbiased.

Problem 5.

Let X1 ,X2 , . . . ,Xn  be a random sample from a distribution having zero mean and inite variance

a2 . Show that the estimator

2  =  Xi(2)

is an unbiased estimator of a2 .