Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Exam 1 Practice Problems

1. Suppose that f : S → R and c is a cluster point of S .

(a) Show that if x(l)f (x) exists, then x(l)|f (x)| exists.

(b) Suppose that x(l)|f (x)| exists. Give an example to show that x(l)f (x) may not exist.

2.   Prove that the function  f  defined by f (x)  =  1 + x if x is rational and f (x) = 1 - x if x is irrational is continuous only at 0.

3.

(a) Show that there exists a real number x > 2π such that tan x = x.  Make sure to state and justify the use of any theorems that you use.

(b) Give an example of a function f : (-1, 1) → R such that f is not continuous on (-1, 1), but f satisfies the conclusion of the Max-Min Theorem.

4. Prove, by definition, that f (x) = 4/x2 is uniformly continuous on (2, 5].

5. Prove or give a counterexample for the following statement:

If {xn } is a bounded sequence, and k is any constant, then lim sup (kxn ) = n →o

│               、

6. For each of the following, indicate whether the statement is True or False. Give a brief explanation for your choice or a counterexample in each case.

(a) If A c S c R and c is a cluster point of S, then c is also a cluster point of A.

(b) If {xn }n–(o)1  S [a, b], then {xn }n–(o)1  has a subsequence that is a Cauchy se- quence.

(c) If lim f (x) exists, and lim g(x) does not exist, then lim (f (x) + g(x)) does x →c                                         x →c                                                               x →c

not exist.