Problem 1 (Linear econometrics).  (60 points) Household finance is a growing field in finance.  Rising health costs are not just impacting house- holds’ finances, they are affecting an array of decisions, including the decision to change (or retire from) an occupation which provides favorable health in- surance subsidies. For a cross section of individuals, the file “insurance.csv” provides the following information:

● age: age of primary beneficiary of health insurance

● sex: gender of primary beneficiary of health insurance

●  bmi :  this is a measure of a person’s weight relative to height.  It is defined as bmi = kg/m2 , where kg is the person’s weight and m2  is the person’s height measured in squared meters. A bmi between 18.5 and

24.9 is considered healthy. More would be considered “overweight” .

● children: number of children covered by health insurance

● smoker: whether the primary beneficiary is a smoker or not

● region: the primary beneficiary’s residential area in the US (northeast, southeast, northwest, southwest)

● charges: medical costs billed to health insurance.

Given this information, you need to perform linear regression in Python to understand the drivers of medical costs.

(1)  (3 points) Generate an histogram of the medical costs and compute de- scriptive statistics (mean, median, standard deviation, minimum, max- imum). Is the distribution symmetric? Why or why not, in your view?

(2)  (3 points) Take a logarithmic transformation of the medical costs. Plot the histogram of the log-costs.  What do you notice now?  How would you explain the change?

Begin by excluding all categorical variables (sex, smoker and region).

(3)  (4 points) Run a regression of the log-costs on the non-categorical ex- planatory variables:

log(costi ) = θ0 + θ1 agei + θ2 bmii + θ3 childreni + εi ,

where εi  is an error term.

(4)  (3 points) Give an economic interpretation of the estimated coefficients in the regression above. What does the model say about the determi- nants of medical costs?

(5)  (4 points) We want to test whether the coefficient θ2  for bmi is statis- tically significant. Test the hypothesis using the relevant test statistic. Does bmi have more or less explanatory power than age?

(6)  (3 points) We want to test whether the coefficient θ2  for bmi is statis- tically significant. Test the hypothesis using the relevant p-value.

(7)  (5 points) Test the single linear restriction θ 1  = 3θ2  using the relevant test statistic.

(8)  (3 points) Test the single linear restriction θ 1  = 3θ2  using the relevant p-value.

(9)  (5 points) Test the multiple linear restriction θ 1   = 0.04 and θ2   = 0 using the relevant test statistic.

(10)  (3 points) Test the multiple linear restriction θ 1   = 0.04 and θ2   = 0 using the relevant p-value.

(11)  (4 points) Using the estimated model, predict medical costs for a 50 year-old person with bmi = 36 and 4 children. Is the prediction lower or higher than the mean of the distribution of the medical costs?  (Recall that  the  regression gives  you  a prediction for the  log  of the  medical costs (say, log(y)) not for the medical costs (say, y) . Hence, after you find the prediction for the log of the medical costs, you need to make a transformation to find a prediction for the medical costs themselves. Hint: if log(y) is normal, y is lognormal.  What is E(y) for a log normal random variable? )

Now,  take  the  categorical  variables  into  account  using  dummy  variables (https://en.wikipedia.org/wiki/Dummy_variable_(statistics)).

(12)  (3 points) How much more (or less) do males spend relative to females (controlling for all other variables)?

(13)  (3 points) How much more (or less) do smokers spend relative to non smokers (controlling for all other variables)?

(14)  (3 points) In which region are medical costs higher (controlling for all other variables)?

(15)  (3 points) What is the difference in medical costs between the northeast and the southwest (controlling for all other variables)?

(16)  (4 points) Are the coefficients associated with the dummies individually statistically significant?

(17)  (4 points) Using your model, predict medical costs for a 50 year-old male smoker with  bmi  = 36 who lives in the southwest and has 4 children.

Problem 2  (Review of methods).   (40 points) Assume an iid sample {x1 , x2 , ..., xT ( from some distribution with expected value µ and variance σ 2 . A natural estimator for the true variance (i.e., σ 2 ) of the random variable which generates the data is the sample variance, namely s北(2)  =      (xt · X)2 , where X defines the sample mean, i.e., X =       xt .

First, let us focus on the finite-T (or finite-sample) properties of s北(2):

(1)  (6 points) Show that the sample variance s北(2)  is biased for the true variance σ 2 .

(2)  (3 points) How would you correct the bias?

(3)  (3 points) What is the bias of the infeasible variance estimator s北(2) ,inf =      (xt · µ)2 . Why am I calling this estimator infeasible?

Now, let us turn to the large-T (or infinite-sample or asymptotic) properties of s北(2) . Write the following:

T

s北(2)     =         (xt · X)2

t=1

T

=         ((xt · µ) · (X · µ))2

t=1

T                                                               T

=    1       (xt · µ)2 · 2(X · µ)  1       (xt · µ) + (X · µ)2             (1)

石       `y       -   石              `y              -         (c)

(a)                                                (b)

Now, subtract σ 2  from the left-hand side and from the right-hand side of Eq. (1) and standardize by ^T to obtain:

^T (s北(2) · σ 2 )   =       ((xt · µ)2 · σ 2 ) · 2(X · µ)  1   T   (xt · µ) +^T (X ·  µ)2

石                             -                        t=1

(a* )                                                        (b* )              (2)

(4)  (6 points) Show that s北(2)  is consistent for σ 2  by applying the LLN to (a), (b) and (c) in Eq (1).

(5)  (6 points) Show that ^T (s北(2) · σ 2 ) is asymptotically normal by ap- plying the LLN, the CLT and Slutsky’s theorem to (a* ), (b* ) and (c* ) in Eq. (2).

Notice that consistency is a statement about sample averages, like s北(2), con- verging (as T 二 o) to expected values. Asymptotic normality is a statement about demeaned (by σ 2 , in our example) and standardized (by ^T, in our example) sample averages, like ^T (s北(2) · σ 2 ), converging (as T 二 o) to a mean-zero normal distribution.