ECON6018   Mathematics for Economics

Homework 1. Chapter 2 – Equilibrium analysis

Due: 12/02/2023, 11.59pm, online in the Assignments on the course’s Elearn.

1. a. Consider the demand and supply curves

D = 240 – ¼P

S = 2P – 30

a. Find the equilibrium price P*, and the corresponding quantity Q*.

b. Suppose a tax of $4.50 per unit is imposed on the producer. How will this influence the equilibrium price?

c. Compute the total revenue obtained by the producer before the tax is imposed (R*) and after (Rˆ).

d. Use diagrams to illustrate the difference between the two market equilibria (with and without the tax).

2. a. Find the values of p and q for which the equation system

x1  + x2  + x3  = q

px1  + x2  − x3  = 5

x1  − x3  = p

has:

(i) one solution; (ii) several solutions; (iii) no solution.

b. Find an expression for the general solution of the system in case (ii).

3. a. Given A = #           (, find A2, A3,  + A + A2  and ( − A)( + A + A2 ) where  denotes the identity matrix of order 3.

b. Use the results in (a) to find ( − A)#$ .

4. Consider a three-sector input–output model in which sector 1 is agriculture, sector 2 is manufacturing, and sector 3 is energy. Suppose that the input requirements are given by the following table:

Now  suppose  that  final  demands  for  the  three  goods  are  100,  80,  and  30  units, respectively. If x1, x2, and x3  denote the number of units that have to be produced in the three sectors, write down and solve the Leontief equation system for the problem (by elimination method, not by matrix inversion).

5. Let the IS equation be

Y =  − i

where 1 – b is the marginal propensity to save, g is the investment sensitivity to interest rates, and A is an aggregate of exogenous variables.

Let the LM equation be

Y =  − i

where k and l are income and interest sensitivity of money demand, respectively, and M0 is real money balances.

a. Write the IS-LM system in matrix form.

b. Solve for  Y and i by matrix inversion.  (Note: this question asks for the solution by matrix inversion because it’s a 2x2 system and inverses for 2x2 matrices are straight- forward (consult notes); you don’t have to do matrix inversion for 3x3 systems.)

6. The demand and supply functions of a two-commodity market model are as follows:

Qd1  = 18 – 3P1  + P2

Qs1  = -2 + 4P1

Qd2  = 12 + P1  – 2P2

Qs2  = -2 + 3P2

Find Pi* and Qi* (i = 1, 2). (Use fractions rather than decimals.)

7. For each real number a, let

Aa  = #a  1

a. Find|Aa | as a function of a.

b. When does the equation system:

a + 1

a + 4

5

a(a)  1(1)(