MATH2070 Optimization and Financial Mathematics Quiz Review

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH2070 Quiz Review

PART I  Quiz Review

PART 1.1 Sample quiz

Question 1: The critical point of the function f(x, y)  =  3x2  −  2xy  + y2  + 4x  +  2 is :

a)   (−  1, 1)

b)   (1, 1)

c)   (−  1, −  1)

d)   (1, −  1)

Question 2: The symmetric matrix A associated with the quadratic form is :

T                           2                                          2                                         2

Q  = x  Ax  =  2x   −  8xy  +  9y   +  4yz  +  2z   +  2zx

 

Question 3: By completing the square determine the nature of the quadratic form :

2                                              2

Q  = x   +  6xy  +  11y

a)  Indefinite

b)  Negative indefinite

c)  Positive definite

d)  Positive semi-definite

Question 4: The Hessian H of the function f(x, y)  = x4  + x2  +  2xy  − y2  − 4x  + 4y  − 4 at the point (0, 2) is :

 

Question 5: The eigenvalues of the matrix are:

a)  - 1 &   9

b)  0  &   9

c)  1  &  -9

d)  -9 &   9

Question 6: Test the Hessian matrix to determine the nature of the critical point (1,1) of

2                                     2

f(x, y)  = −  2x   +  2xy  − y   +  2x  +  1

a)  A local maximum

b)  A local minimum

c)  A saddle point

d)  Test fails

Question 7: Which is the correct Lagrangian functions for the following optimization problem?

Maximize : 2x  + y  − x   − xy  −  2y

Subject to : x  +  2y  ≤  1

2                                  2                                                         2

c)   L  =    −  2x  − y  + x   + xy  +  2y   +  λ(x  +  2y  + s   −  1)

d)   L  =    −  2x  + y  + x2  + xy  +  2y2  +  λ(x  +  2y  + s2  −  1)

Question 8: A gambler is invited to play a simple game in which two coins are tossed. He will receive nothing if both coins show tails, or $12 if one shows heads and one shows tails, or else $60 if both coins show heads. What is the gambler's expected return in this game?

a)   $19

b)   $21

c)   $24

d)  None of the above

PART 1.2 Tutorial Questions

Question 1: The following is the final simplex tableau for a linear programming problem :

X       X2

2        0

−  1   0

1        1

X

3

1

1

1

X

4

0

1

0

X

5

3

−  1

1

RHS

6

2

2

a) What are the non-basic variables?

b) What is the optimal value of the objective functions?

c) Identify the solution vertex (X1, X2, X3 )

Question 2: Consider the function f(x, y)  =  (x  −  2)4  + x2  + 4y2  − 4xy, show                analytically that this function has one critical point. Show that the Hessian matrix is only      positive semidefinite at this critical point (and the test for a local minimum fails). Show that the critical point is a global minimum of f by rearranging the last three terms to demonstrate that f has a minimum value of zero.


2023-02-06