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This assignment considers the action on passive scalars of the alternating sine map studied in Workshop 1. The positions of fluid particles after successive applications of the map is given by the recurrence

xn+1  = xn + u sin(yn + an),               (1a)

yn+1  = yn + u sin(xn+1 + pn),           (1b)

where 0 ≤ an, pn  l 2m are prescribed and u < 0. We examine two cases: (i) the deterministic case, with an  = pn  = 0, and (ii) the random case where an and pn are drawn independently, uniformly in [0, 2m).

A passive scalar is released in the flow with initial concentration C0(>) such that

2m      2m

C0(>) d> = 0

0        0

(a constant can be added to the concentration to ensure this holds). The scalar is transported

by the flow, which implies that the concentration Cn(>) after n applications of the map satisfies

Cn+1(>n+1) = Cn(>n).

Cn+1(x, y) = Cn(x\, y ),    where\  y\ = y − u sin(x + pn),  x\ = x − u sin(y  + an\ ).       (2)

After a few iterations, concentration gradients become large and molecular diffusion acts to smooth them. We model this by replacing (2) by

Cn+1(x, y) = 

Cn (x\\, y\\)e−[(x −x  )\\\2 +(y −y  )\\\2 ]/4x dx\\ dy\\,           (3)

where the parameter x < 0 captures the effect of molecular diffusion. The model (3) ensures that the total mass of the scalar is conserved:

2m      2m                                   2m      2m

Cn(>) d> =                 C0(>) d> = 0.

0         0                                      0         0

However, for x < 0,

|Cn | =  C  (>) d>n(2)、1/2  → 0 as  n → 尸.

Thus the concentration decays to zero everywhere. Physically, the scalar is well mixed, hence homogeneous, as n → 尸. In fact, we expect an exponential decay:

|Cn | s e −ny,  i.e.  n(l) n −1 log |Cn | → y < 0,        (4)