PART I Decision under Uncertainty and Utility Theory

PART 1.1 Principle of expected return

Intuition

To price securities, you don’t want to pay more than the expected return, but a seller will not sell it for less than its expected return. If the return R is a random variable, a fair price S0 is

S0  = E[R]

PART 1.2 Utility theory

Definition

Function u:  D → R, with D  ⊂ R, is a utility function if it is strictly increasing. Often, we will consider twice differentiable utility functions:

a) u'(X) > 0 for almost all X (strictly increasing)

b) u''(X) < 0: marginal utility u'(X) decreases with increasing wealth

Principle of expected utility

An individual will seek to maximize expected utility rather than expected return.

Pricing securities or financial assets

Let S be the current price of a security or financial instrument, and X be its random payoff.    Then the net return is X  − S, with expected utility E[u(  + X  − S)], where  is an initial wealth of an investor.

a)    If E[u(  + X  − S)] > E[u()] = u() , an investor will buy the security or financial instrument.

b)  If E[u(  + X  − S)] < E[u()] = u(), an investor will not buy it.

c)   The maximum price the investor is willing to pay is the root of E[u(  + X  − S)] = u()

Theorem

Utility function u and its positive linear transformation, that is u =  au  +  b with a ≥ 0, lead to the same decisions.

PART 1.3 Risk aversion

Definition An investor is risk-averse if, at any level of wealth  , they dislike any risky security with an expected value zero:

∀∀X witℎ E[X]  =  0 and V[X]  >  0, E[u(  + X)]  ≤ u()

The definition implies that a risk-averse investor always prefers receiving the expected value of X with certainty rather then X itself:

∀∀X E[u(  + X)]  ≤ u(  + E[X])

Theorem

An agent with utility function u is risk-averse if and only if u is concave.

PART 1.4  Classification of risk attitudes

For risk-neutral agents, the principle of expected utility reduces to the principle of expected return.

Risk premium

A risk premium is the investment return an asset is expected to yield in excess of the risk-free rate of return. An asset’s risk premium is a form of compensation for investors. It represents   payment to investors for tolerating the extra risk in a given investment over that of a risk-free asset.

−1

Absolute risk aversion

A()   =     −

Relative risk aversion

R()  =    A()   =     − 

PART II Portfolio basics

PART 2.1 Definition

Two types of assets

I.      Risk-free asset: It can be thought of as a bank deposit or a bond issued by a government, a financial institution, or a company.

-    The price of one bond at time t is denoted by At

-    The fixed return on bonds is defined as T  =

II.      Risky asset/security: The risky security will typically be some stock. It may also be a foreign currency, gold, a commodity or virtually any asset whose future price is         unknown today.

-    The price of one share at time t is denoted by St

-    The random rate of return of the risky asset is R  = 

Assumptions

I.      Divisibility: One can hold a fraction of a share or bond.

II.      Liquidity: No bounds are imposed on the number of shares, and any assent can be bought or sold on demand at the market price in arbitrary quantities.

Other definitions

I.   Long position: A trader who has bought or who holds a position that will benefit from rising prices.

II.  Short position: A trader who has sold or who holds a position that will benefit from falling prices.

-     Short selling: an investor or fund manager buys a security and subsequently sells the security with an obligation to purchase back the security and return it later. o Closing the short position: repurchase the stock and return it to the owner.

III. Financial portfolio: an investment consisting of any collection of securities or assets.

PART III Portfolio Theory

PART 3.1 Setup

I.       Single time period t = 0 and t = 1

II.     n risky assets s , where i = 1, … , n, with:

-    Return rates R i

-    Expected return rates ri  = E[Ri]

-    Covariances Cov(Ri , Rj)  = Sij

-    Covariance matrix S  = (Sij)1≤i, j≤n

-    Correlation matrix P  = (Pij)1≤i, j≤n

III.    Total Wealth w0

PART 3.2 Portfolio equations

PART 3.3 The feasible set

Definition

In   solving  portfolio  optimization  problems,  one  chooses  portfolios   satisfying  certain conditions:

-    The decision domain D is the subset of portfolio vectors in R   satisfying the budget

conditions, that is D  =  {x:    x  =  1}

i=1

-    The feasible set F is the subset of D of portfolios satisfying other imposed constraints. If there are no other constraints apart from the budget constraint, then the portfolio is  called unrestricted.

PART 3.4 Markowitz mean-variance portfolio theory

Assumptions

I. Market provides perfect information and perfect competition.

II. Single time period t = 0 and t = 1.

III. Risky asset returns are normally distributed with known means and covariance matrix.

IV. Investors are rational and risk-averse.

Setup

All rational risk-averse investors have risk-expected return preferences expressed with        V  =  V(µ, σ) which depends only on the expected return µ and variance σ , where    >  0 and  >  0.

Selection rules

I. If µ 1  = µ2, then select the portfolio with smaller µ (lower risk).

II. If σ 1  = σ2, then select the portfolio with larger σ (higher return).

III. Northwest Rule:

-     Given two feasible portfolios P1 and P2 in the µσ-plane, select the one lying in the north-western of the other.

The efficient frontier and the capital market line

I. All risk-averse investors will select portfolios on the efficient frontier.

II. Which portfolio on the Efficient Frontier an investor will choose depends on their degree of risk aversion:

-    Choosing the global minimum variance portfolio is the choice of a most risk-averse investor.

Indifference curves

An investor has no preferences for any portfolio lying on a given indifference curve.

-    Indifference curves are given by Z  = −  tµ  +  2 σ  , where t ≥ 0 is a risk aversion parameter.

Unrestricted n-asset portfolio

1     2

a  = e S    e

b  = e S    T

T   −1

2

d  =  ac  − b

λ(t)  =

where e is a column vector of n-ones and T is the return of each asset.

Here a, c, and d are positive.

The Minimum Variance Frontier is given by µ  =  and  σ2  =  , or equivalently σ2  −  (µ  − )2  =

The Efficient Frontier is the upper branch of the Minimum Efficient Frontier µ  >  .   The global minimum risk portfolio is the vertex of the MVF with µ0  =  and σ2  =  .

The capital market line

µ , σ , etc: include the riskless asset

µ , σ , etc: exclude the riskless asset

Assume the return on the riskless asset S   is T  , where T   is the riskless rate of return.

The expected return of the n  +  1 assets portfolio is: µ = T0  + x  T, where T = T  − T0 is the

excess return.

The portfolio                               T                            remains unaffected by the inclusion of the

Theorem

2

Assume that S is invertible, the optimal portfolio to minimizing Z(x)  = −  tµ +  2 σ   is x(t),

2         2                                    T   −1

Calculate the portfolio variance on the Efficient Frontier for the risky assets only: σ02  =  d(a)   (r0  −  a(b) )2  +  a(1)

Then, the Capital Market Line is given by µ = r0  + σ0    d σ

Note the Capital Market Line is tangential to the risky-asset Efficient Frontier.