Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Math 502, Spring 2023, Homework 2

Problem  1.  Let X1 , . . . , Xn  be independent random variables with common distribution function F , α

be a number in the open interval  (0, 1), q be an α-quantile of F and rn  be a positive integer satisfying (rn - nα)/^n - 0. In class we have shown the asymptotic normality result

(1)                                                  ^n(X(r们 ) - q)--(勿) Y ~ N ╱0, 、

if F has a positive derivative F\ (q) at q . Suppose now that F (q -) < α < F (q) holds. Verify the convergence

(2)                                                                 nl P (X(r们 )  = q) = 1

Problem 2.  Consider the distribution function F given by

,．0,               t < 0,

．

 t2 ,              0 < t < 1/2,

F (t) = ．1/2,           1/2 < t < 1,

 3/4,           1 < t < 2,

．

．．1 - 1/t2 ,   2 < t.

Perform a simulation study to investigate the performance of the order statistics X(r们 )  for the following choices of rn .

(1)  rn  equals the integer part of n/5.  Is the behavior consistent with the asymptotic normality result

(1) mentioned in Problem 1?

(2)  rn  equals to the integer part of n/3. Is the behavior consistent with the result (2) from Problem 1?

Use sample sizes n = 60, n = 120 and n = 240. Use 1000 repetitions.

Problem 3. A random variable X is said to have a Weibull distribution with shape parameter α and scale parameter β if α and β are positive and X has density

f (x) =  exp ╱ - 、1[x > 0].

Give an algorithm for generating such a random variable.

Problem 4.  A random variable X is said to have a Pareto distribution with shape parameter α and scale parameter β if α and β are positive and X has density

αβ α

xα+1

Give an algorithm for generating such a random variable.

Problem 5.  Give an algorithm that generates random variables X and Y with joint density f (x, y) = 4xy exp(-y2 )1[0 < x < y]

Problem 6.  Let f and g be two densities on the real line with respective distribution functions F and G, and let θ be a number in the interval (-1, 1). Define a function p on R2  by

p(x, y) = f (x)g(y)(1 + θ(2F (x) - 1)(2G(y) - 1)),    x, y ∈ R.

(1)  Show that p is a density.

(2)  Let X and Y have joint density p. Find marginal densities of X and Y .

(3)  Describe an accept/reject algorithm for generating X and Y with joint density p.