Instructions:  Please read the following background information and answer all ques- tions.   You may handwrite or type  (e.g., Microsoft Word, LaTeX) your solutions, but if they are handwritten please make sure they are legible.  You are welcome to discuss this assignment with others in the class, but you must write up your own solutions; if your work too closely matches the work of another student, this will be treated as an act of academic dishonesty and appropriate measures will be taken.  All work for this assignment is due by 11:59pm on Monday, January 30, 2023 through Crowdmark. Late work is subject to the late work policy described in the official course outline.

Final Submission: Your final submission will be done through Crowdmark.  You will need to upload a pdf file of your solutions for each question individually, either by scanning or taking a picture of your work. You will also need to upload pdf files of each of the plots you make for Problem 4 and screenshots of the R code used to generate those plots.

Background: Imagine we want to model the growth of a population of fish living in a lake every month. Based on observed data, we know that the fish grow roughly logistically with an intrinsic growth rate r > 0 and a carrying capacity K > 0, but each month some fraction 0  < h  <  1 of the population is harvested by local fishers.  Let Pt  represent the number of fish in the current month t and let Pt −1   represent the number of fish in the previous month t − 1, t = 1, 2, 3, . . . .

Problems

Problem 1 [2 points]: Design a model that describes the scenario above. Hint: Start with one of the models we discussed in class and add a new term to the right-hand side to capture harvesting.  Remember to pick the simplest possible form for this extra term that fits the description above. Write down your model and give a brief explanation of how the term you added describes the act of harvesting.

Problem 2  [3 points]:  Find all equilibrium points of your model.  Be sure to show your work.

Problem 3  [14 points]:  Analytically determine conditions under which each equilibrium is stable and unstable. Be sure to show your work.

Problem 4 [9 points]: Your analysis in the previous question should have shown that all equilibria are unstable if r > h + 3. Use R to simulate your model and create a plot of the population size versus month (see the Lab 2 activity for help).  Set K = 50 and h = 0.3.