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Summer Assessment, 2022

MAST10007 Linear Algebra

Question 1 (8 marks)

(a) A bag of coins has total value $8.15, and consists entirely of five, ten and fifty cent pieces.

There are 37 coins in total. Also, the total number of five and fifty cent pieces is one more than the number of ten cent pieces.

(i) Write down three linear equations for the number of five, ten and fifty cent pieces. (ii)  Making use of the fact that

- 163(37) -     - 126(37) -

│ 1   -1    1 1 │ ~ │ 0   0   1 12 │

or otherwise, calculate the number of five, ten and fifty cent pieces in the bag. (b) Let k e R be a parameter. Consider the table of points in the xy-plane

x y

-1 2

1 4

3 k

The objective is to determine m and c, if possible, so that the straight line y = mx + c

passes through the three points.

(i) Write down three linear equations for m and c.

(ii)  By using a method based on row echelon form, find the value(s) of k such that there

is no solution, and the value(s) of k such that there is a solution.

(iii) If there is a solution, find the values of m and c.

(i)  Calculate Tr(X).

(ii)  Calculate the rank of X .

(iii) You are told that A is a 4 × 4 matrix such that det(A) = -2. Calculate det(AX).

(b)    (i) Use a method involving elementary row operations to calculate the inverse of the

matrix

2

1

-1

(ii) Let E1  denote the elementary matrix obtained by interchanging the first and second

row of the 2 × 2 identity matrix I2 .  Let E2  denote the elementary matrix obtained by replacing row 1 of I2  by row 1 minus twice row 2. Determine the 2 × 2 matrix A satisfying

E2E1A = I2 .

Question 5 (7 marks)

(a) Let H c R2  be specified by H = {(x, y) e R2  : x > 0, y > 0}.

(i)  Sketch H .

(ii)  Show that H is closed under vector addition.

(iii)  Show that H is not a subspace of R2 .

(b) Let S c p3  be specified by S = {p e p3  : p(x) = ax - ax2 , a e R}.

(i) Write S as a span. Explain why S is a subspace of p3 .

(ii) What is the dimension of S?

(iii) What is the dimension of span {x -x2 , x, x2 } considered as a subspace of p3? Explain

your reasoning.

Question 7 (6 marks)

(a) Let R be the linear transformation R  : R2   → R2  specified by a reflection in the line y = -x. Let S be the linear transformation S : R2  → R2  specified by a shear 1/2 a unit parallel to the x-axis.

(i)  Sketch the image of the unit square under the mapping R.

(ii)  Specify the standard matrix representations of both R and S .

(iii)  Specify the standard matrix representation of the linear transformation correspond-

ing to applying S ten times, then applying R once.

(b)  Define the linear transformation Q : p1 → p2  by

Q(p(x)) = |0 z p(t) dt.

(i) What is the size of the standard matrix [Q]?

(ii)  Calculate [Q].

(i)  Specify the corresponding eigenvalues.

(ii) What property of the eigenvectors implies that M can be diagonalised?

(iii)  Calculate

M5 ╱3│(-)--12(3)│(-) +  │(-)-415│(-)\.

(b)  Consider the matrix

S = ┌ 1(2)   2(1)┐ .

You are told that

┌ ┐1(1)

is a normalised eigenvector of S .

(i) What property of the matrix S allows the remaining eigenvector to be written down from knowledge of this eigenvector?   Use this property to specify the remaining normalised eigenvector.

(ii)  Give a geometrical interpretation of the matrix S regarded as the standard matrix

of a linear transformation in the plane.

Question 12 (6 marks)

(a) For x = (x1 , x2 , x3 ) e R3  and y = (y1 , y2 , y3 ) e R3  define

〈x, y〉= x1y1 + x2y2 + cx3y3 ,

where c e R is a parameter.  For what values of c does〈x, y〉define an inner product in R3? Justify your answer.

(b)  Consider the inner product in R3  defined as in (a) with c = 2.  With x = (0, 0, 2) and

y = (0, 1, 1) compute ||x - y||.

〈p(x), q(x)〉= |0 1 p(x)q(x) dx

is a well defined inner product. With respect to this inner product:

(i)  Compute ||r(x)|| for r(x) = x.

(ii) For r(x) as in  (i), find an s(x)  e p1, normalised so that  ||s(x)|| =  1, such that

〈r(x), s(x)〉= 0.