Question 1 (7 marks)

(a)  Consider the following flow diagram:

40                        x1                              60

30                        x5                              10

At each vertex, the flow in must equal the flow out.

(i)  Starting from the top left vertex and reading clockwise, specify four linear equations involving x1 , . . . , x5  and write these with all the variables on the left hand side, and constants on the right hand side.

(ii) You are told

Explain why it follows from this that the reduced row echelon form of the augmented matrix corresponding to the linear system in (a) is

3(7)0(0) ┐'

0(10) '' .

(iii) Find the solution of the linear system in (i), given that it is required x3  = 0 and

x5 = 10.

(b) A system of three simultaneous equations in the unknowns x, y, z has only two solutions

(x, y, z) = (0, 0, 0) and (x, y, z) = (1, 0, 0). Is it possible for these equations to be linear? Clearly state the theory being used.

(c) Let k e R be given and consider the system of equations for the unknowns x, y, z specified by

x + ky + 4z = 0

2x _ y + 8z = 0.

Calculate the solution space assuming k _ .

Question 3 (6 marks)

(a)  Consider the following graph

a                                     b

c

e                              d

and let A be the corresponding adjacency matrix, with vertices a, . . . , e in order corre- sponding to the rows and columns.

(i)  Specify A.

(ii) Without doing any actual matrix multiplication, predict the value of the entry in row 4, column 5, of A4 . Explain your reasoning.

(b)    (i) For x1 , x2 , x3  e R, and given

X =  '(┌) '(┐) ,        Y =  '(┌)_1191 2(2)1(0)   4(1)2(1)'(┐) ,

calculate

Tr (XY)       and       Tr (YX).

(ii)  Show that there do not exist 3 × 3 square matrices X1, X2  such that

X1X2 _ X2X1 = ┌┐

'0   0   0' .

Clearly state any theory that is being assumed.

Question 4 (6 marks)

Consider the three points in R3

x1 = (_1, 5, 8),

and let

a = x1 _ x2 ,

(a) Find the value of t e R such that b + tc is perpendicular to a.                (b) Find the volume of the parallelepiped specified by the vectors x1 , x2 , x3 .

(c) Use your answer to (b) to determine the volume of parallelepiped specified by the vectors x1 + x2 + x3 , x2 + x3 , x3 .

Question 5 (7 marks)

(a)  Consider the set

S = (x e R3  : x . (1, 1, 1) = 0}.

(i)  Describe S geometrically, and use knowledge of the geometrical form of subspaces in R3  to conclude that it is a subspace.

(ii) Use the subspace theorem to provide an alternative method to show S is a subspace. (b)  Show that the set Q = (A e M2!2  : A is singular} is not a subspace of M2!2 .

Question 6 (7 marks)

It is possible to apply elementary row operations to the following matrix A to obtain the matrix

B:

_4

2

2

Using this information, or otherwise, answer the following questions:

(a) Write down a basis for the column space of A, and explain your reasoning.

(b)  Do the vectors ((3, _4, 1, 8), (_2, 2, _1, _5), (1, 2, 2, 1)} span a 3-dimensional subspace of

R4 ? Give a reason.

(c) Are the vectors ((3, _2, 1), (_4, 2, 2), (8, _5, 1)} linearly independent? Give a reason.

(d) Write (8, _5, 1) as a linear combination of (3, _2, 1) and (_4, 2, 2).

(e) What is the nullity of A? Give a reason.

(f) Find a basis for the solution space of A.

Question 7 (6 marks)

(a) Let R be the linear transformation R : R2  → R2  specified by an anti-clockwise rotation of π/4 about the origin.  Let S be the linear transformation S : R2  → R2  specified by a reflection in the line y = x.

(i)  Specify the standard matrix representations of both R and S .

(ii)  Specify the standard matrix representation of the linear transformation correspond-

ing to applying R eight times, then applying S twice.

(b)  Define the linear transformation Q : p2 → p1  by

d

dx

(i) What is the size of the standard matrix [Q]?

(ii)  Calculate [Q].

Question 8 (6 marks)

(a) Let T : R3 → R3  be the transformation

T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x1 _ x3 , x2 + x3 ).

(i) Find the standard matrix [T] of T. (ii) Find a basis for the kernel of T.     (iii) Is T invertible? Give a reason.

(b) Let wˆ = (1, 1, 2).

(i)  Give a geometrical interpretation of the linear transformation T : R3 → R3  specified by

T (x) = (x . wˆ )wˆ .

(ii)  Specify Im T.

(iii) Is T invertible? Give a reason.

Question 9 (6 marks)

(a) Verify that

B = ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1)}

is a basis for R3 .

(b) Write down the transition matrix p占 !扌  from the basis B to the standard basis s .

(c)  Calculate the transition matrix p扌 !占 .

(d) You are given that for a particular linear transformation T : R3 → R3 ,

[T]占 = ┌ ┐

'_1     0     2' .

Calculate [T]扌 .

(e)  Calculate [T (1, 1, 1)]扌 .

Question 10 (6 marks)

A 2 × 2 matrix A is such that it can be written

A = A1 + A2 ,    where   A1 = 2 ┌ ┐1(1)  [1   1]  ,    A2 = _ ┌ 1_1┐ [1   _1]  .

(a)  Calculate

A ┌ ┐1(1)        and       A ┌ 1_1┐ .

(b) From your answer to (a), or otherwise, specify the eigenvalues and corresponding nor-

malised eigenvectors of A.

(c) What property of A implies that the eigenvectors are orthogonal using the dot product on R2?

(d)    (i) Write A in the form A = QDQT  for some diagonal matrix D and orthogonal matrix Q.

(ii)  Specify the corresponding decomposition for A2 .

Question 11 (6 marks)

Daily sales of a new brand of iced coffee at a particular convenience store were recorded at the end of day x to be equal to y items as given by the table of data:

x y

1 6

2 5

3 5

(a) Find the line of best fit to the data, using the method of least squares. (b)  Draw the line of best fit on a graph, and mark in the data points.

(c) Estimate the number of sales on day 6.

Question 12 (6 marks)

(a) Use the Gram-Schmidt procedure to find an orthonormal basis for the subspace W of R4

spanned by the vectors

((2, 0, 1, 2), (1, 2, 3, 2), (2, 5, 5, 0)}

using the dot product as inner product on R4 .

(b) Find the closest vector in W to (1, 1, 1, 1).