Due: 20 Jan (Friday) 11:59pm.

Instruction:

1.  Submit a .R file in onQ under Assignment 1. Your file name should be FirstName_LastName_studentID_Asg1 .R. For example, Brian_Ling_12345678_Asg1 .R.

2. All the questions require you to write some R code. Clearly separate the R code for different questions using some appropriate comments:

#  Q1

#  your  code

#  Q2

#  your  code

#  Q3

#  your  code

#  and  so  on

3. You may receive at most half of the points for a question if the code cannot be executed.

4. You should have proper indentation in your code.

5.  Posting any questions  on  Chegg or other platforms may result in a fail in this  course . You may discuss with your classmates with proper acknowledgment in your assignment. You can send me an email or come to my office hours to ask questions about the assignment.

6. There are 10 questions in this assignment. Full marks = 100. Each question is worth 10 points.

Additional remarks:

1.  For questions that do not ask you to write a function, do not write a function.

2.  Do not include any unnecessary code in your submission to save our TA work from looking for your answer.

3.  Use meaningful names for your variables if you need them in your intermediate steps.

Q1(a): Write a function (using the operators and built-in functions in Section 1 of the lecture notes) called my_LS to compute the least squares estimate in linear regression given the design matrix X  (n × p) and response vector Y (length n). The least squares estimate is given by

βˆ = (XT X ) − 1 XT Y.

The function should take X and Y as two inputs and outputs a vector (not a matrix). In addition, you are not allowed to use lm in this question.

For example,

X  <-  cbind(rep (1 ,  10),  1 :10)

Y  <-  seq (1 ,  30 ,  length  =  10)

my_LS(X,  Y)

##  [1]  -2 .222222    3 .222222

Your function should give the same output as above.

Hint: you may use as .vector to change your matrix into a vector. E.g.,

A  <- matrix(1 :3 ,  nrow  =  3 ,  ncol  =1)

A

##   [1,]         1

##   [2,]         2

##  [3,]        3

as .vector (A)

##  [1]  1  2  3

Common problems observed from previous years:

1. You cannot use ˆ{-1} to find the inverse of a matrix in R.

2. It is incorrect to use * to do the matrix multiplication. Use %*%.

3.  Naming of the arguments: you should write my_LS  <-  function(X,  Y) not my_LS  <-  function(x, y).

Q1(b): Write a function (using the operators and built-in function in Chapter 1 of the lecture notes) called my_ridge to compute the ridge estimate in ridge regression given the design matrix X  (n × p), response vector Y (length n) and penalty parameter (a scalar) λ . The function should take X , Y , and λ as inputs and outputs a vector (not a matrix). The ridge estimate is given by

βˆR  = (XT X + λI) − 1 XT Y,

where I is an identity matrix of appropriate dimension.

For example,

X  <-  cbind(rep (1 ,  10),  1 :10)

Y  <-  seq (1 ,  30 ,  length  =  10)

lambda  <-  1

my_ridge (X,  Y,  lambda)

##  [1]  -1 .374556    3 .093093

Your function should give the same output as above.

Remark: βˆR  minimize

n                                                    p

工(Yi − βT Xi )2 + λ 工 βi(2) .

i=1                                           i=1

The goal of this question is for you to practise some basic operations in R (not to introduce ridge regression).

Hint: the dimension of the identity matrix is the same as t(X)%*%X.

Q2(a): Write a function called my_sum using two for loops to find 之x(n)=1 之 x(x)y(y) .

For example, my_sum(n  =  5, m  =  6)  = 145.5935065.

Q2(b): Write a function called my_sum2 without any loops (for loops, while loops, repeat loops) to do the same task in Q2(a).

Hint: you may define two matrices A and B of suitable dimensions, obtain a new matrix C by performing vectorized operators on A and B such that the sum of all the elements in C gives you the required sum.     Q3: Write a one-line R code to sample an integer randomly from {1, 2, 3, 4, 5} using runif (each integer has 0.2 probability of being selected).

Hint: you may use some rounding functions. In this question, you cannot use sample or other simulation functions other than runif.

Also, with probability one, you will not get b if you simulate from Unif [a, b] because this is a continuous distribution.

Q4: You have a biased coin with P (Head) = 0.6. Write down a code for simulating the results from flipping

this coin 10 times independently. You may use 1 to denote Head and 0 to denote Tail.

Q5:  The lp-norm of a vector x = (x1 , . . . , xn ) is defined as ∥x∥p  := (之 |xi |p )1/p . Write a function called

l_p to compute ∥x∥p .  The inputs are x and p, and the output is  ∥x∥p .

Q6: Let v be a vector of some positive integers. Write a one-line R code to compute the sum of all the odd integers in v. When you test your code, you may define some v.

E.g., if v = (1, 5, 9, 4), your output is 15.

Q7:  Write R code to create a plot of the probability mass function of the geometric distribution with parameter 0.3 from x = 1 to x = 10.

Q8: A simple model on the stock return assumes that (i)

rt+1  := log  ∼ N (µ, σ2 ),

where rt+1  is the log-return at Day t + 1, Pt  is the stock price at the end of Day t; (ii) r1 , r2 , . . . are iid.      Today is Day 0.  Suppose that the current price of a certain stock P0  is 100, µ = 0.0002 and σ = 0.015. Denote A to be the event that the price is below $95 at the close of at least one of the next 20 trading days (i.e., Day 1 - Day 20) and B to be the event the price is above $101 at the close of at least one of the next 40 trading days (i.e., Day 1 - Day 40). Using simulation, estimate P (A ∩ B).

Hint:

1.  see Section 3.5 in the lecture notes.

2. The two events A and B are not independent. You were asked to find the joint probability of the two events. You cannot multiply the P(A) and P (B ) together to get the joint probability P (A ∩ B) because they are not independent.