1.   Consider the double integral

x(3) sinh(y2 ) dydx.

(a)  Sketch the region of integration.

(b) By changing the order of integration, evaluate the double integral. [5 marks]

2.     Determine the surface area of the part of the surface z = xy that lies inside the cylinder given by x2  + y2  = 1 . [5 marks]

4.     Consider the surface S  of the region V  formed by the portion of the cylinder x2  + y2  ≤ 4 which lies between the planes z = 1 and z = 4. let S be oriented with an outward unit normal.

Use Gauss’ (Divergence) Theorem and cylindrical coordinates to express the flux

of the vector field

F(x, y, z) = (x3 i + y3j + z3 k)

across the surface as a triple integral.

THERE IS NO NEED TO EVALUATE THE INTEGRAL. [6 marks]

5.   Consider the following system of differential equations

= x + 2y, dt

with general solution

= −4x − 5y

dt

[y(x) ] = α1  [ 1 ] e t  + α2  [ 2 ] e 3t

Sketch the phase portrait near the critical point at the origin. To sketch the phase portrait, determine:

. any special cases of the orbits,

. how the orbits behave as t → −∞ ,

. how the orbits behave as t → ∞ ,

. the slope of the orbits when x = 0,

. the slope of the orbits when y = 0.

In your sketch, show all the straight line orbits and at least four general orbits.     [7 marks]