1  The orientation of a frame fixed in a satellite relative to a frame translating with the satellite but remaining parallel to a spatially-fixed frame is given as

R(t) = R3(ωt) R3(φ) R1(θ) R3(ψ).

Assuming the inertia matrix, I, is diagonal in the satellite frame, and the satellite follows a circular

orbit

xcm = [Rcm cos(ωt) Rcm sin(ωt) 0]T

where ω is a constant, do the following:

(a) Write the kinetic and potential energies for the satellite.

(b) Use Lagrange’s equations with φ, θ, and ψ as generalized coordinates to generate the equations of motion.

2 Assuming the satellite mentioned above only rotates and translates in the orbital plane (i.e., θ = ψ = 0 in Problem 1). In the class, we talked about the equation of motion when the satellite is a single rigid body.

(a) If the same satellite has a rotational (liberation) damper with Rayleigh dissipation function R = c φ˙2 , what is the equation of motion?

(b) If the satellite consists of a rigid body and a point mass connected with a spring and viscous dashpot, what would the equations of motion be? See Fig. 1.

Figure 1:  Problem 2b

N

B

Figure 2:  Problem 3

3 A uniform disk of mass M and radius r rolls without slip on a cylindrical surface of radius R, as shown in Fig. 2, under the influence of gravity. In Fig. 2, it is assumed that when the disk passes through the central position, the point A on the disk is on contact with point B on the cylindrical surface.  “No-slip” condition means that BN = AN .  Also note that the only moment of inertia term needed here is I = Mr2 . Use Lagrange’s equation to derive the equation of motion for this system.

Submission Guideline

● Submission will be done into two parts:  analytical and computational parts.  The analytic part includes your hand-written answers (calculations, derivations, and so on), Mathemat- ica/Matlab print-out to pdf format, and necessary plots.  Submit this in a single pdf file to “HW6 analytical” on the gradescope.  Note that this analytical part is already complete in the sense that it contains all.

● Submit all your Mathematica and Matlab codes in a single .zip file that contains codes for each problem  (name them by including the problem number).   Name your single zip file submission as “YourName HW5.zip” .  For example, “JinSeobKim HW6.zip” for a single zip file. Submission will be done through “HW6 computational” on the gradescope.