1 As in the class, general rotations in space are commonly described with three angles of rotation, called the Euler angles, denoted φ , θ, and ψ .  Let us use the following composition of rotations using ZXZ Euler angles:

RZXZ  = Rz(φ)Rx(θ)Rz(ψ)

╱  cos ψ cos φ ← cos θ sin φ sin ψ

=  (

← sin ψ cos φ ← cos θ sin φ cos ψ

← sin ψ sin φ + cos θ cos φ cos ψ

sin θ cos ψ

 、

cos θ         ．  .

Also in homework 2, we showed that for this rotation matrix, R˙ZXZRZXZ(T)  = Ω where

Ω =  ╱     、

(  ←ω2        ω 1            0    ．

and

“ = vect (Ω) = RZXZ“6

where

“ 6  =  ╱    、

(          ψ˙ + φ˙ cos θ           ．  .

If six point masses, each with mass m/6, are attached to the axes of the rotating frame shown in Fig. 1,

z’

y’

L 3                         

                                      L2

L1

L2

Figure 1:  Problem 1

(a) compute the kinetic energy of the six particles using the formula:

6

T = 2        6 vi = vi

i–1

where vi  is the velocity of the i-th particle measured in a fixed frame, and the vectors in the form x\ , y\ , z\  are described in the fixed coordinate system x, y , z by the rotation matrix RZXZ . To make life easier, only consider the case when ψ = 0 and ψ˙ = 0. While the statement is still true when ψ  0, it is very tedious to show.

(b)  Show that this kinetic energy computed above is of the form T = “ 6  = (I6“6 ) = “ 6(T)I6“6 where I6  is a diagonal matrix.

(c) In the class, we learned how to compute the moment of inertia matrix for a system of particles. Compute IR  (moment of inertia matrix from a rotating, body-fixed frame) and show that I6 is indeed IR .

2 In the class, we learned about how to describe the motion of a spinning top.  In this problem, we want to simulate the motion of the spinning top. Let’s employ the approach with Euler’s equations of motion without generalized coordinates.

In general, we have to solve

I +“ R  ．(I“R ) = NR

and

dR

= RΩR

dt

(vect(ΩR ) =“R ) together to obtain the trajectory of the center of mass of the spinning top. Recall that xcm(L) = Rxcm(R)  where xcm(R) = [0 0 L]T .

Let the total mass of the top m = 1 [kg], L = 0.1 [m], g = 9.8 [m/sec2], I = I = 1, I = 1.5 [kg/m2].  We want to simulate the motion up to tend  = 10 [sec].  Plot the trajectory of the center of mass of the top for the following cases.  Note that all the angular quantities are expressed in radians.

(a) “ R (0) = [0 0 2.5]T  and R(0) = RZXZ(0, 0.95, 0);

(b) “ R (0) = [0 0 3.5]T  and R(0) = RZXZ(0, 0.5, 0);

(c) “ R (0) = [0 sin(0.95) 0.45 + cos(0.95)]T  and R(0) = RZXZ(0, 0.95, 0).