Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Math 142B  Homework Assignment 1

Due 11:00pm Wednesday, January 18, 2023

1. Let f(x) = x2 sin (   ) for x  0 and f(0) = 0.

(a)  Show that f is differentiable at each x  0.  (Use without proof the fact that sin(x) is differentiable and sin\ (x) = cos(x).)

(b) Use the definition of derivative to show that f is differentiable at x = 0 and that f\ (0) = 0.

(c)  Show that f\  is not continuous at x = 0.

2. Let f(x) = x2 sin (   ) for x  0, f(0) = 0, and g(x) = x for x ∈ R. (a)  Calculate f‘) for n = ±1, ±2, ±3, . . .

g (f (x)) − g (f (0))

x→0          f(x) − f(0)

3. Let f(x) =

(a)  Show that f is continuous at x = 0.

(b)  Show that f is discontinuous at all x  0.

(c)  Show that f is differentiable at x = 0.  Note that the formula f\ (x) = 2x does not apply to this function f .

4.  Suppose f is differentiable at x = x0 .

f(x0 + h) − f(x0 )

h→0                    h

f(x0 + h) − f(x0 − h)

h→0                       2h

5.  Suppose that the function f : (0, ∞) → R is differentiable and let c > 0. Define g : (0, ∞) → R by g(x) = f(cx). Using only the definition of derivative (without appealing to the chain rule), show that g\ (x) = cf\ (cx) for x > 0.

6. Let g be a function that is differentiable on an open interval I containing x0 . Define h(x) = {

(a)  Show that h is continuous on I .

(b)  Show that if g\ (x0 ) > 0, then there is a δ > 0 such that  > 0 for 0 < |x−x0 | < δ .

7.  Show that  |cos(x) − cos(y)| ≤ |x − y|  for all x,y ∈ R.

8. Let f be a function defined on R with the property that  |f(x) − f(y)| ≤ (x − y)2 .   Show that f is a constant function.

9. Let f and g be differentiable functions defined on an open interval I .   Suppose a  < b  ∈ I with f(a) = f(b) = 0.  Show that f\ (x) + f(x)g\ (x) = 0 for some x ∈ (a,b).  [Hint:  Consider h(x) = f(x)eg(x) .]

10.  Show that  ex ≤ ex   for all x ∈ R.