1    Review questions

Indicate whether each statement is true, false, or uncertain, and give a brief explanation.

1. If the elasticity of taxable income of upper income taxpayers with respect to the net-of-tax rate is high, it is self-defeating for the government to impose a very high top marginal tax rate on the rich.

2. The phenomena of insured people behaving in ways that increase the probability of an adverse event is known as adverse selection.

3. In a standard lifecycle model, there is no need for a public retirement program like Social Security or superannuation.

4. There is no benefit from government mandated saving for individuals who have present-bias and are aware of their present bias.

2    Problems

2.1    Intertemporal Issues and Present-Biased Preferences

Consider an individual, Ashley, who lives forever.   In any period, Ashley can take an action At .  Doing nothing in period t yields zero utility in period t.  Taking the action lowers his utility by c > 0 immediately, but yields a utility benefit b > 0 next period. For

example, if he took the action in period t- 1  and takes it again in period t, his utility in period t is ut  = b − c.

Ashley seeks to maximize his lifetime utility starting from the current period in which he is in. Starting from any current period, his lifetime utility is as follows:

U = u0 + δβu1 + δβ2u2 + δβ3u3 + ...

= u0 + δ (βu1 + β2u2 + β3u3 + ...)

∞

= u0 + δ工 βtut

t=1

where ut  is his utility t periods from now. Observe that Ashley discounts utility by β per period into the future, and also discounts all future utility by δ . Both δ and β are strictly positive but weakly less than one: i.e., 0 < δ ≤ 1 and 0 < β ≤ 1.

(a) Explain why Ashley will take the action in period zero if and only if δβb > c.

Suppose that Ashley can commit to a plan. That is, in period zero he can decide whether or not he will take the action for that period and all future periods (his “plan”) and he will not deviate from the plan.

(b) Explain why he will commit to take the action in all future periods if and only if

βb > c.

Suppose that Ashley cannot commit to a plan.  (That is, he can only decide whether or not to take the action in period t when he is in period t.)

(c) Under what conditions will his choices be equivalent to what he would have done in part 2 (either planning to take the action in all future periods, and taking it, or not planning to take it and not taking it)?

(d) Under what conditions will he deviate from his plan from part 2?  What course of action would maximize his utility, U , in these cases, and what action does he take?

(e) Now suppose that we are a benevolent but potentially misguided government, and

we force Ashley to take the action. Under what conditions will he be better off (or at least equally well off) from the point of view of his self at the beginning of time?

(f)  Suggest an alternative policy, which offers a commitment device to Ashley. Specif- ically, it allows him to voluntarily sign up for a service that penalizes him for not taking the action, or rewards him for taking it. Evaluate the benefits and drawbacks of this policy compared to forcing him to make a particular decision.

2.2    Social Insurance

Assume that everybody earns a wage of $400. Individuals face a probability q of getting disabled. If they are disabled their wage becomes $0. Individuals can purchase insurance from private firms. It provides them with $400 if they get disabled. The price of insurance is p and is paid regardless of whether the person becomes disabled or not. In this problem (and in contrast to the model seen in class), we assume that individuals either buy no insurance at all or buy full insurance.  Assume that there are three types of people that can differ in the probability of getting disabled,  q,  and/or their utility function over consumption c:

• Type 1: q1  = 40% and u(c) = ^c

• Type 2: q1  = 10% and u(c) = ^c

• Type 3: q1  = 5% and u(c) = c

There are 10 people of each type.

(a) Explain why only type I and type II would benefit from insurance.

Assume in the remaining questions that the market for insurance is perfectly competitive.

Assume in questions (b) and (c) that firms know the type of each consumer (symmetric information) and charge each type of consumer a different price (p1, p2, p3).

(b) Write down the profit function of firms for each type of individual.

(c) Because the market is perfectly competitive, insurance providers will earn zero prof- its in equilibrium. Calculate the prices (p1, p2, p3) that firms will charge each type.

Assume for the rest of the problem that firms cannot observe types (asymmetric informa- tion).

(d)  Calculate how much each type is willing to pay for insurance.  Willingness to pay is defined as the price of insurance that makes the individual indifferent between getting full insurance at this price and not being insured at all.

(e) What is the long term equilibrium price of insurance? Who gets insured in equilib- rium?

(f)  Give a reason for why the government should intervene in this market.  (g)  Should the government be worried about moral hazard in this scenario?