Note: Tasks below can use for both hand calculation practice and programming practice.

Note: You might want to use extra sheet for hand calculation practice.

Task 1

Solve the following initial value problem over the interval from t = 0 to 2 where y(0) = 1. Display all your results on the same graph.

 = yt2  −1.1y

(a) Using Euler’s method with h = 0.5 and 0.25

(b) Using the midpoint method with h = 0.5

Task 2

Solve the following problem over the interval from x = 0 to 1 using a step size of 0.25 where y(0) = 1. Display all your results on the same graph.

dy

(a) Using Euler’s method

(b) Using Heun’s method without iteration

Task 3

Solve the following problem over the interval from t = 0 to 3 using a step size of 0.5 where y(0) = 1. Display all your results on the same graph.

dy                 2

= − y + t

dt

Obtain your solutions with (a) Heun’s method, (b) the midpoint method

Task 4

Suppose that a projectile is launched upward from the earth’s surface.   Assume that the only force acting on the object is the downward force of gravity. Under these conditions, a force balance can be used to derive

dv                      R2          

= − g(0)                2

dt                 (R + x)

where v = upward velocity (m/s), t = time (s), x = altitude (m) measured      upward from the earth’s surface, g(0) = the gravitational acceleration at the earth’s surface (approximately 9.8 m/s2), and R = the earth’s radius            (approximately 6.37 × 106 m). Recognizing that dx/dt = v, use Euler’s         method to determine the maximum height that would be obtained if v(t = 0) = 1400 m/s.

Task 5

The  material  chosen  for  the  body  panels  of  an  automobile  will  be subjected  to  cyclic  loading  (alternating  positive  and  negative  forces  or stresses) during  use. To test the  materials  behaviour  in the  laboratory under such cyclic loading, a computer is used to measure the force acting on the material over time. The computer also precisely indicates when the material sample fractures. The equation describing the  loading  may be given by:

 = F1 sin (ωt ) + F2 cos (2ωt )

where  F1   =  34  kN,  F2   =  -18kN,  and  ω =  33  rad/s.  The  material  was observed to fracture after 3 hours, 15 minutes and 5 seconds. Use ode45 and a step size of 0.01 seconds, determine what the force acting on the material was at this instant. Use MATLAB command window to solve this problem.

Task 6

The  growth  of  populations  of  organisms  has  many  engineering  and scientific applications. One of the simplest models assumes that the rate of change of the population, dp/dt, is proportional to the existing population, p, at any time, t :

dp

= kg p

dt

where kg  is the growth rate. The world population in millions from  1950 through to 2000 is listed below.

(a) Assuming that the model above holds, transform the given data and apply linear regression to estimate kg .

(b) Use ode45() along with the results of (a) above to simulate the world population trend from 1950 to 2050 with a step size of 5 years. Display your  simulation  results  along  with  the  actual  data  on  a  plot.  How sensitive  are  your  simulation  results  to  the  initial  value  of  the population in 1950?

Task 7

Although the model in task 4 works adequately when population growth is unlimited, it breaks down when factors such as food shortages, pollution, and lack of space inhibit growth. In such cases, the growth rate is not a constant, but can be formulated as

kg  = kgm (1− p / pmax )

where  kgm   = the  maximum growth  rate  under unlimited conditions, p = population,  and  pmax    =  the  maximum  population.  Note  that  pmax    is sometimes called the carrying capacity. Thus, at low population density p << pmax , kg →kgm. As p approaches pmax, the growth rate approaches zero. Using this growth rate formulation, the rate of change of population can be modeled as

dp

= kgm (1− p / pmax )p

dt

This  is  referred to as the  logistic model. The analytical solution to this model is

p = po 

Simulate the world’s population from 1950 to 2050 using (a) the analytical solution, and (b) ode45() with a step size of 5 years. Employ the following initial conditions and parameter values for your simulation: po  (in 1950) = 2,555  million  people,  kgm   =  0.026/yr,  and pmax   =12,000  million  people. Display your results as a plot along with the data from task 4.