Use these problems after you finish reviewing all tutorial problems and quiz problems.  In what follows, let F be the field R or C.

1.  Consider the vector space Fn,n  of n × n matrices with entries in F. Then dimFn,n = n2 .

(a) A matrix A ∈ Fn,n  is called symmetric if A = AT  (where AT  is the transpose of A).  Let Symn(F) be the set of all symmetric matrices in Fn,n ,

Symn(F) = {A ∈ Fn,n  | A = AT}.

Prove that Symn(F) is a subspace of Fn,n  and find its dimension.

(b) A matrix A ∈ Fn,n  is called alternating if −A = AT .  Let Altn(F) be the set of all alternating matrices in Fn,n ,

Altn(F) = {A ∈ Fn,n  | −A = AT}.

Prove that Altn(F) is a subspace of Fn,n  and find its dimension.

(c)  Prove that Fn,n = Symn(F) ⊕ Altn(F).

2.  Define a map T : Fn,n → Fn,n  by T(A) = A − AT .  Prove that T is linear and find null T and range T .

3.  Let U,V be vector spaces over F and S,T ∈ L(U,V).  Prove or find a counterexample for the following claims.

(a) null(S + T) = null(S) ∩ null(T).

(b) range(S + T) = range(S) + range(T).

4.  Suppose U,V,W are finite-dimensional vector spaces over F and T ∈ L(U,V) and S ∈ L(V,W), so ST ∈ L(U,W).

(a)  Prove that dimrange(ST) ≤ dimrange(S).

(b)  Prove that dimrange(ST) ≤ dimrange(T).

(c)  Suppose ST = 0 ∈ L(U,W).  Prove that dimrange(T) + dimrange(S) ≤ dimV .

5.  Let V be a finite-dimensional vector space and T ∈ L(V).  Prove the following are equivalent. (Prove (a)⇒(b)⇒(c)⇒(a).)

(a)  V = null T ⊕ range T .

(b) null T ∩ range T = {0}.

(c)  dimrange(T2) = dimrange T .

6.  Let V,W be vector spaces with dimV = n > dimW = m and T ∈ L(V,W). Suppose U is a subspace of V with dimU = n − 1 and the restriction T|U  ∈ L(U,W) of T to U is surjective. Show that null T ⊈ U .

7.  Let Pk(F) be the vector space of polynomials of degree at most k with coefficients in F.  Fix a

polynomial f(x) of degree d and define the following map called multiplication by f(x), Tf  : Pn(F) → Pn+d(F), Tf(p(x)) := f(x)p(x).

(a)  Prove that Tf  is a linear map.

(b)  Let Bk  = {1,x,x2 , . . . ,xk } be the standard basis for Pk(F). Find the matrix representation [Tf] of Tf  with respect to standard bases in the case f(x) = x2 + x + 1 and n = 3.

8.  Fix a scalar a ∈ F and define a map

p(x) − p(a)

x − a     .

(a)  Prove that the above defined Da(p(x)) is indeed a polynomial in Pn−1(F). (b)  Prove that Da  is a linear map.

(c)  In the case n = 3, choose suitable bases and find the matrix representation of Da .

9.  Fix a matrix A ∈ F2,2  and define a map

adA  : F2,2 → F2,2 ,  adA (X) := AX − XA.

Prove that adA  is linear and find its matrix representation with a suitable basis.

10.  Let Rn  be the n-dimensional Euclidean space with standard basis  {e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . ,en = (0, . . . , 0, 1)} .  Let U be the subspace

U := {(x1 , . . . ,xn) ∈ Rn  | x1 + ··· + xn = 0} .

(a)  Find a basis for U⊥ .

(b) Write v1  := e1 − e2 ,v2  := e2 − e3 , . . . ,vn−1  := en−1 − en .  Prove that {v1 , . . . ,vn−1} is a

basis for U .

(c) Apply Gram-Schmidt procedure to {v1 , . . . ,vn−1} to find an orthonormal basis {b1 , . . . ,bn−1} for U .

(d)  Given a vector x = (x1 , . . . ,xn) ∈ Rn, find its orthogonal projection PU(x) onto U and orthogonal projection PU⊥ (x) onto U⊥ .

11.  Let V be the real inner product space of smooth functions defined on interval [−π,π], with inner product ⟨f,g⟩ = lπf(x)g(x)dx.  Let U be the subspace of V spanned by 1 (the constant         function), sin x and cos x.  Find the best approximation u ∈ U of ex  ∈ V .

12.  Let V be a vector space over F with a basis B = {v1 , . . . ,vn} . Suppose T ∈ L(V) is defined by T(vj) = v1 + ··· + vn  for j = 1, . . . ,n.

(a)  Find all eigenvalues of T .

(b)  Find a basis for each eigenspace of T .

(c)  Is T diagonalizable? If yes, find a basis D such that [T]D(D)  is diagonal; if no, state the reason.