Exercise 1

Find and classify the stationary points of function 2x3 + 6xy2 _ 3y3 _ 150x.

Exercise 2

A long-run production function is given by

Q = f (L, K) = KL _ L2 _ K2 + K + 2000

(a) Find the optimal combination of K and L that maximizes the final output Q and make sure that it is really a maximum.

(b) Estimate the change in Q due to simultaneous variations ∆L = +10 and ∆K = _6 at point (1, 3) using partial derivatives.

Exercise 3

The demand function in the market for yachts is

Q(P, PC , Y) = 2000 _ 100P _ PC(2) + 4Y

where P = $10 million is the price of a yacht, PC  = $0.3 million is the price of a luxury car and Y = $100 million is the available income.

(a) Find the current income elasticity of demand.  Can yachts be considered inferior goods? Why?

(b) Determine if luxury cars and yachts are substitutes or complements.

(c) Estimate the expected change in the quantity demanded of yachts in the case P, PC  and Y double.

Exercise 4

In a small village, there are 87 families, of which 52 families have at most 2 children. In a rural development programme 20 families are to be chosen for assistance, of which at least 18 families must have at most 2 children. In how many ways can the choice be made?

Exercise 5 (The False-Positive Puzzle.)  A test for a certain HIV is assumed to be correct 95% of the time: if a person has the HIV, the test results are positive with probability 0.95, and if the person does not have the HIV, the test results are negative with probability 0.95. A random person drawn from a certain population has probability p = 0.001 of having the disease.  Given that the person just tested positive, what is the probability of having the HIV?

Worksheet 2 - SOLUTIONS

Exercise 1

Find and classify the stationary points of function 2x3 + 6xy2 _ 3y3 _ 150x.

Solution

Function 2x3 + 6xy2 _ 3y3 _ 150x has four stationary points.

The first and second order partial derivatives are:

f北  = 6x2 + 6y2 _ 150,

fy  = 12xy _ 9y2 ,

f北北  = 12x,

fyy  = 12x _ 18y,

f北y  = 12y

F.O.C.s:   For stationarity, we need to solve the system of equations

6x2 + 6y2 _ 150 = 0

12xy _ 9y2  = 0

or equivalently x2 + y2  = 25 and y(4x _ 3y) = 0 (simultaneously).

The second equation implies either y = 0 or 4x = 3y and both cases now need to be considered. If y = 0 then the first equation implies that x2   = 25, x = 士5 and thus (5, 0) and (_5, 0) as stationary points.

If 4x = 3y then x = y and the first equation becomes y2 + y2  = 25, which implies y = 士4.

y = 4 gives x = 3 and y = _4 gives x = _3, so we have two more stationary points (3, 4) and (_3, _4). In total, there are four stationary points:  (5, 0), (_5, 0), (3, 4) and (_3, _4), each one to be classified as max, min or saddle point.

S.O.C.s:   Let us start with (5, 0). For this stationary point, f北北 fyy  _ f北(2)y  = 602  _ 0 > 0 so it is either a max or a min. But f北北  = 60 > 0 and fyy  = 60 > 0. Hence (5, 0) is a minimum.

Now deal with (_5, 0). For this stationary point, f北北 fyy _ f北(2)y  = (_60)2 _ 0 > 0 so it is either a max or a min. But f北北  = _60 < 0 and fyy  = _60 < 0. Hence (_5, 0) is a maximum.

Now deal with (3, 4). For this stationary point, f北北 fyy _ f北(2)y  = _3600 < 0 so (3, 4) is a saddle. Finally, deal with (_3, _4). Now we have: f北北 fyy _ f北(2)y  = _3600 < 0 so (_3, _4) is a saddle.

Exercise 2

A long-run production function is given by

Q = f(L, K) = KL _ L2 _ K2 + K + 2000

(a) Find the optimal combination of K and L that maximizes the final output Q and make sure that it is really a maximum.

(b) Estimate the change in Q due to simultaneous variations ∆L = +10 and ∆K = _6 at point (1, 3).

Solution

(a) The production function depends on the two inputs K and L, thus any stationary point (L* , K* ) is found where both first-order derivatives

 (L* , K* ) and  (L* , K* ) are simultaneously equal to zero (F.O.C.s):

∂ 

∂ 

which yields values (  , ). Let’s check now for the S.O.C.s:

∂2 Q

∂L2

 _ y 、2

=   _2;             = _2;                = 1;

=   4 _ 1 = 3 > 0.

Thus the combination (  , ) is a maximum for production function Q = f(L, K) = KL _ L2 _ K2 + K + 2000, and it gives Q*  = 2000.33.

(b) The change in the level of output Q is approximated by

∂Q           ∂Q

∂L           ∂K

=   (K _ 2L) * (10) + (L _ 2K + 1) * (_6)

at the point (1, 3) and it gives ∆Q ≈ +34.

Exercise 3

The demand function in the market for yachts is

Q(P, PC , Y) = 2000 _ 100P _ PC(2) + 4Y

where P = $10 million is the price of a yacht, PC  = $0.3 million is the price of a luxury car and Y = $100 million is the available income.

(a) Find the current income elasticity of demand.  Can yachts be considered inferior goods? Why?

(b) Determine if luxury cars and yachts are substitutes or complements.

(c) Estimate the expected change in the quantity demanded of yachts in the case P, PC  and Y double.

Solution

(a) Q(10, 0.3, 100) ≈ 1400. The income elasticity of demand is given by formula

Y ?Q      100

Q ?Y      1400

The positive value of EY  confirms that yacht is a superior good. (Optional: it is not perceived by customers as a luxury good (which implies EY  > 1)).

(b) The cross-price elasticity of demand is

PC  ?Q       0.3 

thus luxury cars and yachts are perceived as complements: they must be bought together in order to increase consumers’ utility.  As a consequence, when the price of cars increases the quantity demanded of both goods decreases.

(c) Variations in prices and income are ∆P = +10, ∆PC  = +0.3 and ∆Y = +100 respectively. The change in quantity demanded Q is approximated by

?Q            ?Q              ?Q

?P           ?PC                    ?Y

=   _100 * ∆P _ 2PC * ∆PC + 4 * ∆Y

At the point (10, 0.3, 100), the expected change in Q is

∆Q ≈ _100 * 10 _ 2 * 0.3 * 0.3 + 4 * 100 = _600

Exercise 4

In a small village, there are 87 families, of which 52 families have at most 2 children. In a rural development programme 20 families are to be chosen for assistance, of which at least 18 families must have at most 2 children. In how many ways can the choice be made?

Solution

The total number of possible choices is related to the three possible scenarios:

C C2(35)     (18 families having at most 2 children and 2 families selected from other type of families)

C C1(35)     (19 families having at most 2 children and 1 family selected from other type of families)

C2(5)0(2)      (All selected 20 families having at most 2 children)

Hence, the total number is:

C C2(35) + C C1(35) + C2(5)0(2)

which is 2.82 × 1016  in case you’re curious.

Exercise 5 (The False-Positive Puzzle.) A test for a certain HIV is assumed to be correct 95% of the time:  if a person has the HIV, the test results are positive with probability 0.95, and if the person does not have the HIV, the test results are negative with probability 0.95. A random person drawn from a certain population has probability p = 0.001 of having the disease.  Given that the person just tested positive, what is the probability of having the HIV?

Solution

If A is the event that the person has the disease, and B is the event that the test results are positive, the desired probability, P (A|B), is

P (A|B)   =

=

=

P (A)P (B|A)              

P (A)P (B|A) + P (Ac )P (B|Ac )

0.001 * 0.95

0.001 * 0.95 + 0.999 * 0.05

0.0187